歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 1.5 kW のモータが歯数 12 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 72 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 95% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 1.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 12N2 = 72η = 95%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 20）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 50）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 15B = 20C = 18D = 50
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 60 mm、長さ 0.8 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 0.8 m である。自由端 C にトルク 750 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 750 N·md1 = 60 mm, L1 = 0.8 md2 = 25 mm, L2 = 0.8 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 750 rpm で 30 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 30 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 10 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 10 MPaσy = 60 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 20 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 355 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 20 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPaσY = 355 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 10 mm の 2 周期後に 6 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 10 mmx2 = 6 mmn = 2
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 15 kN/m、下のばねは k₂ = 80 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 15 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 9.879 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/151.8 = 9.879 N·m
答え
T1 = 9.879 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 259.2 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·15/20 = 720 rpm = nC
第 2 段
nout = 720·18/50 = 259.2 rpm
答え
nout = 259.2 rpm
全体の速比 = 3.704 : 1
3.軸のねじり
答え: φC = 11.54 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 750 N·m = 750000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 750000·800/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.005895 rad
φBC = 750000·800/(80000·38350) = 0.1956 rad
全ねじれ角
φC = 0.005895 + 0.1956 = 0.2015 rad = 11.54°
答え
φC = 11.54°
4.軸のねじり
答え: d = 29.6 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·381972/(π·75)) = 29.6 mm
答え
d = 29.6 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 30.96 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 35 MPa, R = √((−25)² + 10²) = 26.93 MPa
σ1 = 61.93 MPa, σ2 = 8.074 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(53.85, 61.93, 8.074)/2 = 30.96 MPa
答え
τabs = 30.96 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 9.166
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 15 MPa, R = 20.62 MPa
σ1 = 35.62 MPa, σ2 = −5.616 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(35.62² − 35.62·(−5.616) + (−5.616)²) = 38.73 MPa
n = 355/38.73 = 9.166
答え
n = 9.166
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: P = 98.72 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1.528 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/5.065 × 10⁻⁶ = 98723 N = 98.72 kN
答え
P = 98.72 kN
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 6.955 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 397.9 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 35.81·500/117000 = 0.153 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397.9·2000/117000 = 6.801 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.955 mm
答え
δ = 6.955 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 137.1 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3000² = 137078 N = 137.1 kN
答え
Pcr = 137.1 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 21.93 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/10 = 300
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa
答え
σcr = 21.93 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.04062
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/2)·ln(10/6) = 0.2554
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2554/√(39.48 + 0.06524) = 0.04062
答え
ζ = 0.04062
12.機械振動
答え: fn = 2.828 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/15 + 1/80 → keq = 15·80/(15 + 80) = 12.63 kN/m
固有振動数
ωn = √(12632/40) = 17.77 rad/s
fn = 17.77/(2π) = 2.828 Hz
答え
fn = 2.828 Hz
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