機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車
n1·N1 = n2·N2
トルク
T2 = T1·(N2/N1)·η
電力
P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列
全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
静たわみから
ωn = √(g/δst)
臨界減衰
cc = 2√(km) = 2mωn
減衰比
ζ = c/cc
減衰固有振動数
ωd = ωn√(1 − ζ²)
対数減衰率
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね
k = k1 + k2
直列ばね
1/k = 1/k1 + 1/k2

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう
N1​ = 20, m = 3 mm

1440 rpm で回転する 4 kW のモータが、歯数 20、モジュール 3 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。

P = 4 kWn = 1440 rpmN1 = 20m = 3 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
A = 16B = 60C = 15D = 24

複合歯車列において、2900 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 16）が歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 24）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。

nin = 2900 rpmA = 16B = 60C = 15D = 24
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
T = 500 N·md = 25 mmL = 1 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 30 mmT0​ = 750 N·mACBa = 0.8 mb = 1.2 m

直径 30 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.8 m、B から 1.2 m の C にトルク 750 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。

d = 30 mmT0 = 750 N·ma = 0.8 mb = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −30σy​ = 120τxy​ = −50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −30 MPaσy = 120 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 110σy​ = −10τxy​ = −40MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 110 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = 110 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
Ø 25 mm黄銅1.5 mP = 20 kN

黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 20 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm黄銅1 mØ 16 mm黄銅2 mP = 80 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 80 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 20 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 35 kNL = 2 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 35 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 35 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
k = 20 kN/mζ = 0.5m = 200 kg

ばね定数 20 kN/m のばねにつながれた 200 kg の質量に、減衰比 0.5 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。

m = 200 kgk = 20 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
k1​ = 100k2​ = 5k3​ = 10m = 20 kg

20 kg の質量がばね k₃ = 10 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 100 kN/m と k₂ = 5 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。

m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: Ft = 884.2 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

ピニオンのトルク

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 4000/150.8 = 26.53 N·m

ピッチ円直径

d = m·N = 3·20 = 60 mm

接線力

Ft = 2T/d = 2·26.53/0.06 = 884.2 N

答え

Ft = 884.2 N
2.歯車と歯車列

答え: nout = 483.3 rpm

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

第 1 段

nB = 2900·16/60 = 773.3 rpm = nC

第 2 段

nout = 773.3·15/24 = 483.3 rpm

答え

nout = 483.3 rpm

全体の速比 = 6 : 1

3.軸のねじり

答え: φ = 9.338 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·38350) = 0.163 rad
φ = 0.163·180/π = 9.338°

答え

φ = 9.338°
4.軸のねじり

答え: φC = 3.242 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1.2/2 = 450 N·m
TB = 750·0.8/2 = 300 N·m

C の回転角

区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 450000·800/(80000·79522) = 0.05659 rad = 3.242°

答え

φC = 3.242°
5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 90.14 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−30 − 120)/2)² + −50²) = 90.14 MPa

答え

τmax = 90.14 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 134.5 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 50 MPa, R = 72.11 MPa
σ1 = 122.1 MPa, σ2 = −22.11 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(122.1² − 122.1·(−22.11) + (−22.11)²) = 134.5 MPa

答え

σvM = 134.5 MPa
7.軸応力とひずみ

答え: ε = 407.4 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 40.74/100000 = 0.0004074 = 407.4 µε

答え

ε = 407.4 µε
8.軸応力とひずみ

答え: σmax = 397.9 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 397.9 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 397.9 MPa

答え

σmax = 397.9 MPa
9.柱の座屈

答え: Pcr = 5.426 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5.426 kN

答え

Pcr = 5.426 kN
10.柱の座屈

答え: d = 44.85 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 44.85 mm

答え

d = 44.85 mm

確認：細長比 KL/r は 124.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: fd = 1.378 Hz

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

減衰のない固有振動数

ωn = √(20000/200) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz

減衰固有振動数

fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.5²) = 1.378 Hz

答え

fd = 1.378 Hz
12.機械振動

答え: fn = 3.401 Hz

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

等価ばね定数

並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。

k12 = 100 + 5 = 105 kN/m
keq = 105·10/(105 + 10) = 9.13 kN/m

固有振動数

ωn = √(9130/20) = 21.37 rad/s
fn = 21.37/(2π) = 3.401 Hz

答え

fn = 3.401 Hz

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