機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

1440 rpm の 0.55 kW のモータが条数 4 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 48、伝動効率は 50% である。ホイール軸の出力トルク T_w を求めよ。

z = 4N_w = 48n = 1440 rpmP = 0.55 kWη = 50%

T_w = N·m

2.歯車と歯車列むずかしい

平行掛けのベルトが、200 rpm の直径 720 mm の駆動プーリと直径 500 mm のプーリをつなぎ、中心は 600 mm 離れています。摩擦係数は 0.35 で、張り側の張力は 800 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0.35T₁ = 800 N

P = kW

3.軸のねじりふつう

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 1800 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 100 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 100 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 20 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 100 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上のせん断応力 τ_θ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = −50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

7.軸応力とひずみふつう

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 25 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

8.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σ_max を求めよ。

P = 100 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）

σ_max = MPa

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.機械振動ふつう

25 kg の質量が、ばね定数 200 kN/m のばねと、減衰係数 2680 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 25 kgk = 200 kN/mc = 2680 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 20 kN/m、k₂ = 60 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。ばね系の等価ばね定数 k_eq を kN/m で求めよ。

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: T_w = 21.88 N·m

歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。

ホイールの回転速度

n_w = n·z/N_w = 1440·4/48 = 120 rpm

出力トルク

ω_w = 2π·120/60 = 12.57 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.5·550/12.57 = 21.88 N·m

答え

T_w = 21.88 N·m

2.歯車と歯車列

答え: P = 3.634 kW

ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = e^μθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。

巻き付け角

θ = 2.636 rad

緩み側の張力

e^μθ = e^0.9227 = 2.516, T₂ = 800/2.516 = 318 N

電力

P = (800 − 318)·7.54 = 3.634 kW

答え

P = 3.634 kW

3.軸のねじり

答え: φ = 5.387 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(26000·613592) = 0.09402 rad

φ = 0.09402·180/π = 5.387°

答え

φ = 5.387°

4.軸のねじり

答え: d = 40.73 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·530516/(π·40)) = 40.73 mm

答え

d = 40.73 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 57.81 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 95 MPa, R = √(5² + 20²) = 20.62 MPa

σ₁ = 115.6 MPa, σ₂ = 74.38 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(41.23, 115.6, 74.38)/2 = 57.81 MPa

答え

τ_abs = 57.81 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_θ = 7.67 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

τ_θ = −−30·0.9397 + −60·0.342 = 7.67 MPa

答え

τ_θ = 7.67 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: ε = 727.6 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490.9 = 50.93 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 50.93/70000 = 0.0007276 = 727.6 µε

答え

ε = 727.6 µε

8.軸応力とひずみ

答え: σ_max = 884.2 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 79.58 MPa

σ₂ = 884.2 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σ_max = 884.2 MPa

答え

σ_max = 884.2 MPa

9.柱の座屈

答え: P_cr = 7.139 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/6000² = 7139 N = 7.139 kN

答え

P_cr = 7.139 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 17.77 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333.3

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa

答え

σ_cr = 17.77 MPa

11.機械振動

答え: ζ = 0.5993

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·25) = 4472 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 2680/4472 = 0.5993

答え

ζ = 0.5993

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: k_eq = 80 kN/m

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 20 + 60 = 80 kN/m

答え

k_eq = 80 kN/m

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