歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
ベルトが、直径 150 mm の駆動プーリ上を 1440 rpm で走っています。張力は張り側で 500 N、緩み側で 200 N です。伝達される動力 P を kW で求めなさい。
d1 = 150 mmn1 = 1440 rpmT1 = 500 NT2 = 200 N
P = kW
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 160 mm のプーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、その中心は 1200 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 160 mmd2 = 200 mmC = 1200 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 75 mm、長さ 0.8 m、区間 BC は直径 50 mm、長さ 2 m である。自由端 C にトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 250 N·md1 = 75 mm, L1 = 0.8 md2 = 50 mm, L2 = 2 mG = 26 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 300 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 75 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 100 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 80 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 80 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 90 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 115 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
25 kg の質量が、ばね定数 200 kN/m のばねと、減衰係数 1790 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 25 kgk = 200 kN/mc = 1790 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量がばね k₃ = 20 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 20 kN/m と k₂ = 15 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 20 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 20 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: P = 3.393 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの速さ
v = 11.31 m/s
電力
P = (500 − 200)·11.31 = 3393 W = 3.393 kW
答え
P = 3.393 kW
2.歯車と歯車列
答え: θ = 178.1 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.01667) = 0.955°
巻き付け角
θ = 180 − 2·0.955 = 178.1°
答え
θ = 178.1°
3.軸のねじり
答え: φC = 1.938 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 250000·800/(26000·3.106 × 10⁶) = 0.002476 rad
φBC = 250000·2000/(26000·613592) = 0.03134 rad
全ねじれ角
φC = 0.002476 + 0.03134 = 0.03382 rad = 1.938°
答え
φC = 1.938°
4.軸のねじり
答え: d = 46.42 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m
強度から決まる直径
T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·75)) = 35.1 mm
剛性から決まる直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·636620/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 46.42 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(35.1, 46.42) = 46.42 mm
答え
d = 46.42 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 11.6 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 100 − −40) = 23.2°
要素上の角度
θp = 11.6°
答え
θp = 11.6°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 111.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 25 MPa, R = 62.65 MPa
σ1 = 87.65 MPa, σ2 = −37.65 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(87.65² − 87.65·(−37.65) + (−37.65)²) = 111.4 MPa
答え
σvM = 111.4 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 128.1 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8.488 × 10⁻⁷ mm/N
荷重
P = 0.5/3.905 × 10⁻⁶ = 128054 N = 128.1 kN
答え
P = 128.1 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 286.5 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 93.54 MPa
σ2 = 286.5 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 286.5 MPa
答え
σmax = 286.5 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 3.312 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3.312 kN
答え
Pcr = 3.312 kN
10.柱の座屈
答え: d = 62.06 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 62.06 mm
答え
d = 62.06 mm
確認：細長比 KL/r は 161.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.4003
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·25) = 4472 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 1790/4472 = 0.4003
答え
ζ = 0.4003
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 3.591 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 20 + 15 = 35 kN/m
keq = 35·20/(35 + 20) = 12.73 kN/m
固有振動数
ωn = √(12727/25) = 22.56 rad/s
fn = 22.56/(2π) = 3.591 Hz
答え
fn = 3.591 Hz
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