歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 216 mm である。これらをモジュール 4 mm、減速比 5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 ピニオンの歯数 N1 はいくつ必要か。
a = 216 mmm = 4 mmi = 5
N1 =
2.歯車と歯車列むずかしい
遊星歯車装置で、太陽歯車の歯数は 18、各遊星歯車の歯数は 24 である。遊星キャリヤを固定し、太陽歯車を 1500 rpm で駆動する。リングギヤの回転速度 nr（大きさ）を求めよ。
Ns = 18Np = 24ns = 1500 rpm
nr = rpm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1800 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 30 MPa、σᵧ = −20 MPa である。最大主応力が 85 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 30 MPaσy = −20 MPaσ1 = 85 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = −60 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 115 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
25 kg の質量が、ばね定数 4 kN/m のばねと、減衰係数 30 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 25 kgk = 4 kN/mc = 30 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量がばね k₃ = 25 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 25 kN/m と k₂ = 80 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 25 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N1 = 18
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·216/4 = 108
比で分ける
N1 = 108/(1 + 5) = 18
答え
N1 = 18
2.歯車と歯車列
答え: nr = 409.1 rpm
遊星歯車装置：太陽歯車、リング、キャリヤの回転速度はウィリスの式 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns で結ばれます：キャリヤから見ると、遊星歯車をアイドラとする普通の歯車列です。1 つの要素を固定すると、単一の減速比をもつ減速機になります。
リングギヤの歯数
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·24 = 66
キャリヤ固定時のウィリスの式
nc = 0 のとき、太陽歯車はアイドラとして働く遊星歯車を介してリングを駆動します。
nr = −ns·Ns/Nr = −1500·18/66 = −409.1 rpm
|nr| = 409.1 rpm
答え
nr = 409.1 rpm
リングは太陽歯車と逆向きに回転します。
3.軸のねじり
答え: φ = 11.08 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·79522) = 0.1935 rad
φ = 0.1935·180/π = 11.08°
答え
φ = 11.08°
4.軸のねじり
答え: d = 15 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 10000/188.5 = 53.05 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·53052/(π·80)) = 15 mm
答え
d = 15 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 75.99 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (30 + (−20))/2 = 5 MPa
R = σ1 − C = 85 − 5 = 80 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 25²) = 75.99 MPa
答え
τxy = 75.99 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −5.538 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −35 + −45·0.5 + −60·−0.866 = −5.538 MPa
答え
σθ = −5.538 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1589 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·4006 = 5.034 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·800/5.034 × 10⁸ = 0.1589 mm
答え
δ = 0.1589 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 1017 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 162.7 MPa
σ2 = 1017 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 1017 MPa
答え
σmax = 1017 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 187.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·1500 = 750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/750² = 187157 N = 187.2 kN
答え
Pcr = 187.2 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 111 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答え
σcr = 111 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.04743
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·25) = 632.5 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 30/632.5 = 0.04743
答え
ζ = 0.04743
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 4.523 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 25 + 80 = 105 kN/m
keq = 105·25/(105 + 25) = 20.19 kN/m
固有振動数
ωn = √(20192/25) = 28.42 rad/s
fn = 28.42/(2π) = 4.523 Hz
答え
fn = 4.523 Hz
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