歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
条数 2 のウォームが 2900 rpm で回転し、歯数 40 のウォームホイールを駆動する。ホイールの回転速度 nw を求めよ。
z = 2Nw = 40n = 2900 rpm
nw = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
1450 rpm の 1.5 kW のモータが歯車 A（歯数 36）を駆動し、A は歯車 B（歯数 48）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 32）が出力軸の歯車 D（歯数 80）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 1.5 kWnin = 1450 rpmA = 36B = 48C = 32D = 80ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 1000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 1000 N·mdi/do = 0.5τallow = 50 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 20 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 20 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 10 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 10 MPaσy = −20 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が軸引張力 110 kNとトルク 1000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmF = 110 kNT = 1000 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 95 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 15 mm の 1 周期後に 11.7 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 15 mmx1 = 11.7 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 15 kN/m、下のばねは k₂ = 50 kN/m である。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 25 kgk1 = 15 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: nw = 145 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 2900·2/40 = 145 rpm
答え
nw = 145 rpm
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 31.62 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
出力回転数
nout = 1450·(36/48)·(32/80) = 435 rpm
ωout = 2π·435/60 = 45.55 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 1500·0.98² = 1441 W
Tout = Pout/ωout = 1441/45.55 = 31.62 N·m
答え
Tout = 31.62 N·m
3.軸のねじり
答え: do = 47.72 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0.9375)) = 47.72 mm
di = 0.5·47.72 = 23.86 mm
答え
do = 47.72 mm
中実軸なら d = 46.7 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: τmax = 17.46 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 190986·20/218755 = 17.46 MPa
答え
τmax = 17.46 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −10.28 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 40/42.72 = 0.9363, sin 2θs = −15/42.72 = −0.3511
2θs = atan2(−15, 40) = −20.56°
要素上の角度
θs = −10.28°
確認: θs − θp = −10.28 − 34.72 = −45°
答え
θs = −10.28°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 204 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 110000/(π·30²/4) = 110000/706.9 = 155.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188.6 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 77.81 MPa
R = √(77.81² + 188.6²) = 204 MPa
答え
τmax = 204 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 8400 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 840/100000 = 0.0084 = 8400 µε
答え
ε = 8400 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 637.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·9346 = 1.169 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0005455) = 0.0005455 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0005455·1.169 × 10⁹ = 637886 N = 637.9 kN
答え
Pmax = 637.9 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 9.462 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9.462 kN
答え
Pcr = 9.462 kN
10.柱の座屈
答え: d = 51.09 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51.09 mm
答え
d = 51.09 mm
確認：細長比 KL/r は 156.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.03951
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(15/11.7) = 0.2485
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06173) = 0.03951
答え
ζ = 0.03951
12.機械振動
答え: keq = 11.54 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/15 + 1/50 → keq = 15·50/(15 + 50) = 11.54 kN/m
答え
keq = 11.54 kN/m
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