歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm で回転する 3 kW のモータが、歯数 18、モジュール 2.5 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 3 kWn = 960 rpmN1 = 18m = 2.5 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、直径 125 mm のプーリと直径 400 mm のプーリをつなぎ、その中心は 500 mm 離れています。小さいほうのプーリへの巻き付け角 θ を度で求めなさい。
d1 = 125 mmd2 = 400 mmC = 500 mm
θ = °
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 750 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 750 N·mdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 1000 rpm で 15 kW を伝達する。せん断応力は 50 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = −60 MPa である。最大主応力が 20 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −20 MPaσy = −60 MPaσ1 = 20 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が軸圧縮力 30 kNとトルク 250 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmF = −30 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 120 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 10 kN/m のばねにつながれた 12 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 12 kgk = 10 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量がばね k₃ = 10 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 15 kN/m と k₂ = 40 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 15 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 1326 N
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
ピニオンのトルク
ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s
T = P/ω = 3000/100.5 = 29.84 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2.5·18 = 45 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·29.84/0.045 = 1326 N
答え
Ft = 1326 N
2.歯車と歯車列
答え: θ = 148.1 °
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
ベルトの角度
asin(0.275) = 15.96°
巻き付け角
θ = 180 − 2·15.96 = 148.1°
答え
θ = 148.1°
3.軸のねじり
答え: do = 50.09 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·40·0.7599)) = 50.09 mm
di = 0.7·50.09 = 35.06 mm
答え
do = 50.09 mm
中実軸なら d = 45.71 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 38.26 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
強度から決まる直径
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·50)) = 24.44 mm
剛性から決まる直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·143239/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 38.26 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(24.44, 38.26) = 38.26 mm
答え
d = 38.26 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 56.57 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−20 + (−60))/2 = −40 MPa
R = σ1 − C = 20 − (−40) = 60 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 20²) = 56.57 MPa
答え
τxy = 56.57 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 23.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −30000/(π·40²/4) = −30000/1257 = −23.87 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19.89 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −11.94 MPa
R = √((−11.94)² + 19.89²) = 23.2 MPa
答え
τmax = 23.2 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.91 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 120·1000/314.2 = 382 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 382/100000 = 0.00382 = 3820 µε
伸び
δ = ε·L = 0.00382·500 mm = 1.91 mm
答え
δ = 1.91 mm
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.95 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 173.2 MPa
σ2 = 270.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 173.2·1500/100000 = 2.597 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 270.6·1000/200000 = 1.353 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.95 mm
答え
δ = 3.95 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 7.311 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·6000 = 12000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/12000² = 7311 N = 7.311 kN
答え
Pcr = 7.311 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 27.76 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
答え
σcr = 27.76 MPa
11.機械振動
答え: fd = 3.281 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(10000/12) = 28.87 rad/s
fn = 28.87/(2π) = 4.594 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.594·√(1 − 0.7²) = 3.281 Hz
答え
fd = 3.281 Hz
12.機械振動
答え: fn = 6.547 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 15 + 40 = 55 kN/m
keq = 55·10/(55 + 10) = 8.462 kN/m
固有振動数
ωn = √(8462/5) = 41.14 rad/s
fn = 41.14/(2π) = 6.547 Hz
答え
fn = 6.547 Hz
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