歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
直径 150 mm のプーリが 2880 rpm で回り、滑り 2 % のベルトで直径 500 mm のプーリを駆動します。従動プーリの回転速度 n2 を求めなさい。
n1 = 2880 rpmd1 = 150 mmd2 = 500 mms = 2 %
n2 = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 45）が 1440 rpm で回転し、歯車 B（歯数 48）を駆動する。歯車 C（歯数 15）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 1013 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 1440 rpmA = 45B = 48C = 15nout = 1013 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 1000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 1000 N·mdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 1000 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.25° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 110 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 50°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 110 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −60 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPa
σvM = MPa
7.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 90 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 25 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 25 mm の 3 周期後に 1.4 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 25 mmx3 = 1.4 mmn = 3
ζ =
12.機械振動むずかしい
40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 5 kN/m、k₂ = 12 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 40 kgk1 = 5 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: n2 = 846.7 rpm
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
滑りなしの回転速度
2880·150/500 = 864 rpm
滑りあり
n2 = 864·0.98 = 846.7 rpm
答え
n2 = 846.7 rpm
2.歯車と歯車列
答え: ND = 20
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
中間軸の回転速度
nB = nC = 1440·45/48 = 1350 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 15·1350/1013 = 20
答え
ND = 20
3.軸のねじり
答え: do = 41.82 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·80·0.8704)) = 41.82 mm
di = 0.6·41.82 = 25.09 mm
答え
do = 41.82 mm
中実軸なら d = 39.93 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 58.15 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
強度から決まる直径
T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·60)) = 25.31 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·190986/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 58.15 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(25.31, 58.15) = 58.15 mm
答え
d = 58.15 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 103.9 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 55 − 55·(−0.1736) − (−40)·0.9848 = 103.9 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = 6.057 MPa, σx′ + σy′ = 110 = σx + σy
答え
σy′ = 103.9 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 147 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 90 MPa, R = 67.08 MPa
σ1 = 157.1 MPa, σ2 = 22.92 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(157.1² − 157.1·22.92 + 22.92²) = 147 MPa
答え
σvM = 147 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 2865 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314.2 = 286.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 286.5/100000 = 0.002865 = 2865 µε
答え
ε = 2865 µε
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 257.9 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00075, 0.0004167) = 0.0004167 (銅)
最大荷重
Pmax = 0.0004167·6.189 × 10⁸ = 257872 N = 257.9 kN
答え
Pmax = 257.9 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 5.757 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2000² = 5757 N = 5.757 kN
答え
Pcr = 5.757 kN
10.柱の座屈
答え: d = 29.66 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 29.66 mm
答え
d = 29.66 mm
確認：細長比 KL/r は 134.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.1512
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/3)·ln(25/1.4) = 0.9608
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9608/√(39.48 + 0.9231) = 0.1512
答え
ζ = 0.1512
12.機械振動
答え: fn = 3.281 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 5 + 12 = 17 kN/m
固有振動数
ωn = √(17000/40) = 20.62 rad/s
fn = 20.62/(2π) = 3.281 Hz
答え
fn = 3.281 Hz
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