歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
960 rpm の 1.1 kW のモータが条数 2 のウォームを駆動する。ウォームホイールの歯数は 72、伝動効率は 60% である。ホイール軸の出力トルク Tw を求めよ。
z = 2Nw = 72n = 960 rpmP = 1.1 kWη = 60%
Tw = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1450 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 15）が歯車 B（歯数 30）を駆動する。歯車 C（歯数 16）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 50）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1450 rpmA = 15B = 30C = 16D = 50
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 100 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 100 N·mdi/do = 0.5τallow = 50 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 5 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = 100 MPa である。最大主応力が 160 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −20 MPaσy = 100 MPaσ1 = 160 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 40 mm の中実軸が曲げモーメント 300 N·mとトルク 2000 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmM = 300 N·mT = 2000 N·m
τmax = MPa
7.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 55 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 40 mm の 1 周期後に 29.2 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 40 mmx1 = 29.2 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 80 kN/m、k₂ = 100 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 20 kgk1 = 80 kN/mk2 = 100 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Tw = 236.3 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 960·2/72 = 26.67 rpm
出力トルク
ωw = 2π·26.67/60 = 2.793 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.6·1100/2.793 = 236.3 N·m
答え
Tw = 236.3 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 232 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1450·15/30 = 725 rpm = nC
第 2 段
nout = 725·16/50 = 232 rpm
答え
nout = 232 rpm
全体の速比 = 6.25 : 1
3.軸のねじり
答え: do = 22.15 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0.9375)) = 22.15 mm
di = 0.5·22.15 = 11.07 mm
答え
do = 22.15 mm
中実軸なら d = 21.68 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 20.09 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20.09 mm
答え
d = 20.09 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 103.9 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−20 + 100)/2 = 40 MPa
R = σ1 − C = 160 − 40 = 120 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(120² − 60²) = 103.9 MPa
答え
τxy = 103.9 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 160.9 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·40³) = 47.75 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159.2 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 23.87 MPa
R = √(23.87² + 159.2²) = 160.9 MPa
答え
τmax = 160.9 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.06211 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·5027 = 6.44 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·400/6.44 × 10⁸ = 0.06211 mm
答え
δ = 0.06211 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 273.5 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 43.77 MPa
σ2 = 273.5 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 273.5 MPa
答え
σmax = 273.5 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 15.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·1500 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15.99 kN
答え
Pcr = 15.99 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 24.87 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/15 = 166.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166.7² = 24.87 MPa
答え
σcr = 24.87 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.05003
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(40/29.2) = 0.3147
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3147/√(39.48 + 0.09904) = 0.05003
答え
ζ = 0.05003
12.機械振動
答え: keq = 180 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 80 + 100 = 180 kN/m
答え
keq = 180 kN/m
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