歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 3 kW のモータが歯数 18 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 25 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 3 kWn1 = 1440 rpmN1 = 18N2 = 25η = 100%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
960 rpm の 2.2 kW のモータが歯車 A（歯数 16）を駆動し、A は歯車 B（歯数 36）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 40）が出力軸の歯車 D（歯数 80）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 2.2 kWnin = 960 rpmA = 16B = 36C = 40D = 80ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中空軸（外径 50 mm、内径 35 mm、長さ 2 m）が一端で固定され、他端でトルク 100 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·mdo = 50 mmdi = 35 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 2.5 m の B にトルク 500 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 750 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 60 mmTB = 500 N·mTC = 750 N·mAB = 2.5 mBC = 1 mG = 80 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 30 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 70 MPaσy = 100 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −70 MPaσy = 100 MPaτxy = −50 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 15 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 30 mm の 2 周期後に 23.3 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 30 mmx2 = 23.3 mmn = 2
ζ =
12.機械振動むずかしい
10 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 60 kN/m、k₂ = 10 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 ばね系の等価ばね定数 keq を kN/m で求めよ。
m = 10 kgk1 = 60 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 19.89 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 3000/150.8 = 19.89 N·m
答え
T1 = 19.89 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 94.58 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 960·(16/36)·(40/80) = 213.3 rpm
ωout = 2π·213.3/60 = 22.34 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 2200·0.98² = 2113 W
Tout = Pout/ωout = 2113/22.34 = 94.58 N·m
答え
Tout = 94.58 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 0.6302 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
ねじれ角
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·2000/(39000·466269) = 0.011 rad
φ = 0.011·180/π = 0.6302°
答え
φ = 0.6302°
4.軸のねじり
答え: φC = 0.774 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC − TB = 750 − 500 = 250 N·m
各区間のねじれ角
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 250000·2500/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.00614 rad
φBC = 750000·1000/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.007368 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.00614 + 0.007368 = 0.01351 rad → |φC| = 0.774°
答え
φC = 0.774°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 59.27 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 85 MPa, R = √((−15)² + 30²) = 33.54 MPa
σ1 = 118.5 MPa, σ2 = 51.46 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(67.08, 118.5, 51.46)/2 = 59.27 MPa
答え
τabs = 59.27 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 32.97 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −−85·0.766 + −50·0.6428 = 32.97 MPa
答え
τθ = 32.97 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 181.4 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 15·1000/706.9 = 21.22 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 21.22/117000 = 0.0001814 = 181.4 µε
答え
ε = 181.4 µε
8.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.775 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 223.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 35.81·1500/100000 = 0.5371 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223.8·1000/100000 = 2.238 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.775 mm
答え
δ = 2.775 mm
9.柱の座屈
答え: Pcr = 35.09 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1500² = 35092 N = 35.09 kN
答え
Pcr = 35.09 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.02011
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/2)·ln(30/23.3) = 0.1264
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1264/√(39.48 + 0.01597) = 0.02011
答え
ζ = 0.02011
12.機械振動
答え: keq = 70 kN/m
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 60 + 10 = 70 kN/m
答え
keq = 70 kN/m
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