歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2900 rpm で回転する 3 kW のモータが、歯数 16、モジュール 2 mm のピニオンを駆動する。ピニオンの歯に働く接線力 Ft を求めよ。
P = 3 kWn = 2900 rpmN1 = 16m = 2 mm
Ft = N
2.歯車と歯車列むずかしい
1440 rpm の 11 kW のモータが歯車 A（歯数 24）を駆動し、A は歯車 B（歯数 60）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 16）が出力軸の歯車 D（歯数 30）を駆動する。各かみ合いの効率は 98% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 11 kWnin = 1440 rpmA = 24B = 60C = 16D = 30ηmesh = 98%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 25 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 0.8 m の B にトルク 200 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 400 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 25 mmTB = 200 N·mTC = 400 N·mAB = 0.8 mBC = 2.5 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 100 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 30 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 30 MPaσy = −70 MPaτxy = 10 MPaσY = 460 MPa
n =
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 50 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
ばね定数 1 kN/m のばねにつながれた 5 kg の質量に、減衰比 0.7 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 5 kgk = 1 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 10 kN/m、k₂ = 80 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 10 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: Ft = 617.4 N
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
ピニオンのトルク
ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T = P/ω = 3000/303.7 = 9.879 N·m
ピッチ円直径
d = m·N = 2·16 = 32 mm
接線力
Ft = 2T/d = 2·9.879/0.032 = 617.4 N
答え
Ft = 617.4 N
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 328.4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 1440·(24/60)·(16/30) = 307.2 rpm
ωout = 2π·307.2/60 = 32.17 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 11000·0.98² = 10564 W
Tout = Pout/ωout = 10564/32.17 = 328.4 N·m
答え
Tout = 328.4 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 1.167 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·613592) = 0.02037 rad
φ = 0.02037·180/π = 1.167°
答え
φ = 1.167°
4.軸のねじり
答え: τmax = 195.6 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 200 = 600 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 600 N·m
τmax = 16·600000/(π·25³) = 195.6 MPa
答え
τmax = 195.6 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −15.8 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−40, 100 − −30) = −31.61°
要素上の角度
θp = −15.8°
答え
θp = −15.8°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 5.08
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −20 MPa, R = 50.99 MPa
σ1 = 30.99 MPa, σ2 = −70.99 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(30.99² − 30.99·(−70.99) + (−70.99)²) = 90.55 MPa
n = 460/90.55 = 5.08
答え
n = 5.08
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.638 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 50·1000/490.9 = 101.9 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 101.9/70000 = 0.001455 = 1455 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001455·2500 mm = 3.638 mm
答え
δ = 3.638 mm
8.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 464.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6.189 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00075, 0.0008333) = 0.00075 (鋼)
最大荷重
Pmax = 0.00075·6.189 × 10⁸ = 464170 N = 464.2 kN
答え
Pmax = 464.2 kN
9.柱の座屈
答え: Pcr = 324 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN
答え
Pcr = 324 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 111 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/7.5 = 133.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa
答え
σcr = 111 MPa
11.機械振動
答え: fd = 1.607 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(1000/5) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.7²) = 1.607 Hz
答え
fd = 1.607 Hz
12.機械振動
答え: fn = 6.752 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 10 + 80 = 90 kN/m
固有振動数
ωn = √(90000/50) = 42.43 rad/s
fn = 42.43/(2π) = 6.752 Hz
答え
fn = 6.752 Hz
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