機械設計：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

歯車と歯車列

かみ合う歯車: n₁·N₁ = n₂·N₂
トルク: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
電力: P = T·ω, ω = 2π·n/60
複合歯車列: 全体の速比 = 各段の速比の積

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

機械振動

固有振動数: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
静たわみから: ω_n = √(g/δ_st)
臨界減衰: c_c = 2√(km) = 2mω_n
減衰比: ζ = c/c_c
減衰固有振動数: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
対数減衰率: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
並列ばね: k = k₁ + k₂
直列ばね: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2演習問題

1.歯車と歯車列ふつう

2 本の平行軸の間隔は 120 mm である。これらをモジュール 4 mm、減速比 2 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。歯車の歯数 N₂ はいくつ必要か。

a = 120 mmm = 4 mmi = 2

N₂ =

2.歯車と歯車列むずかしい

複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 48）が 1500 rpm で回転し、歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 18）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 864 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 N_D はいくつ必要か。

n_in = 1500 rpmA = 48B = 60C = 18n_out = 864 rpm

N_D =

3.軸のねじりふつう

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 100 N·md = 25 mmL = 2.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

直径 50 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 1.2 m の B にトルク 100 N·m が作用し、さらに 2 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 1500 N·m が作用する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1.2 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θ_p を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上のせん断応力 τ_θ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σ_x = −10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

7.軸応力とひずみふつう

鋼の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、銅でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。縮み δ を求めなさい。

P = 100 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 100 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）

δ = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 100 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 100 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.機械振動ふつう

20 kg の質量が、ばね定数 50 kN/m のばねと、減衰係数 500 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。

m = 20 kgk = 50 kN/mc = 500 N·s/m

ζ =

12.機械振動むずかしい

40 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 20 kN/m、k₂ = 60 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 f_n を Hz で求めよ。

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3溶液

1.歯車と歯車列

答え: N₂ = 40

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

歯数の合計

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·120/4 = 60

比で分ける

N₁ = 60/(1 + 2) = 20

N₂ = 2·20 = 40

答え

N₂ = 40

2.歯車と歯車列

答え: N_D = 25

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

中間軸の回転速度

n_B = n_C = 1500·48/60 = 1200 rpm

歯車 D の歯数

N_D = C·n_C/n_out = 18·1200/864 = 25

答え

N_D = 25

3.軸のねじり

答え: φ = 9.577 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(39000·38350) = 0.1672 rad

φ = 0.1672·180/π = 9.577°

答え

φ = 9.577°

4.軸のねじり

答え: τ_max = 65.19 MPa

内部トルク

T_C の向きを正とする。

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 100 = 1600 N·m

最大せん断応力

内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。

|T|_max = 1600 N·m

τ_max = 16·1.6 × 10⁶/(π·50³) = 65.19 MPa

答え

τ_max = 65.19 MPa

5.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_p = −28.15 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θ_p = atan2(2·−60, 40 − −40) = −56.31°

要素上の角度

θ_p = −28.15°

答え

θ_p = −28.15°

反時計回りの角度を正とします。

6.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_θ = −10.13 MPa

変換式

τ_θ = −30·0.766 + 20·0.6428 = −10.13 MPa

答え

τ_θ = −10.13 MPa

7.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.04175 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·7461 = 9.582 × 10⁸ N

縮み

δ = 100000·400/9.582 × 10⁸ = 0.04175 mm

答え

δ = 0.04175 mm

8.軸応力とひずみ

答え: δ = 19.81 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 141.5 MPa

σ₂ = 884.2 MPa

各区間の伸びを足す

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 141.5·1500/100000 = 2.122 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 884.2·2000/100000 = 17.68 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 19.81 mm

答え

δ = 19.81 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 44.29 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1400² = 44295 N = 44.29 kN

答え

P_cr = 44.29 kN

10.柱の座屈

答え: d = 53.02 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 53.02 mm

答え

d = 53.02 mm

確認：細長比 KL/r は 132 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.機械振動

答え: ζ = 0.25

質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ω_n = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は f_n = ω_n/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/c_c で、臨界減衰係数は c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n です。不足減衰系（ζ < 1）は ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。

臨界減衰

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·20) = 2000 N·s/m

減衰比

ζ = c/c_c = 500/2000 = 0.25

答え

ζ = 0.25

ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。

12.機械振動

答え: f_n = 7.118 Hz

等価ばね定数

並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k₁ + k₂。

k_eq = 20 + 60 = 80 kN/m

固有振動数

ω_n = √(80000/40) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

答え

f_n = 7.118 Hz

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