歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
条数 3 のウォームが 2900 rpm で回転し、歯数 72 のウォームホイールを駆動する。ホイールの回転速度 nw を求めよ。
z = 3Nw = 72n = 2900 rpm
nw = rpm
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列で、入力軸の歯車 A（歯数 24）が 1450 rpm で回転し、歯車 B（歯数 48）を駆動する。歯車 C（歯数 24）は B と同じ軸に固定され、出力軸の歯車 D を駆動する。出力は 696 rpm で回転しなければならない。歯車 D の歯数 ND はいくつ必要か。
nin = 1450 rpmA = 24B = 48C = 24nout = 696 rpm
ND =
3.軸のねじりふつう
長さ 3 m の鋼製の中実軸がトルク 1500 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 1500 N·mL = 3 mG = 80 GPaφallow = 1°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 300 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 70 MPaσy = −60 MPaτxy = −60 MPaθ = -20°
τθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 35 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 35 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
10 kg の質量が、ばね定数 10 kN/m のばねと、減衰係数 50 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 10 kgk = 10 kN/mc = 50 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
50 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 80 kN/m、下のばねは k₂ = 30 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 50 kgk1 = 80 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: nw = 120.8 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
ホイールの回転速度
nw = n·z/Nw = 2900·3/72 = 120.8 rpm
答え
nw = 120.8 rpm
2.歯車と歯車列
答え: ND = 25
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
中間軸の回転速度
nB = nC = 1450·24/48 = 725 rpm
歯車 D の歯数
ND = C·nC/nout = 24·725/696 = 25
答え
ND = 25
3.軸のねじり
答え: d = 75.69 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·3000/(80000·0.01745) = 3.223 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 75.69 mm
答え
d = 75.69 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 34.35 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·40)) = 34.35 mm
答え
d = 34.35 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 49.73 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·60, 0 − 20) = 99.46°
要素上の角度
θp = 49.73°
答え
θp = 49.73°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −4.181 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −65·−0.6428 + −60·0.766 = −4.181 MPa
答え
τθ = −4.181 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 26.42 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706.9) = 7.074 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/9.461 × 10⁻⁶ = 26425 N = 26.42 kN
答え
P = 26.42 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 422.8 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 173.2 MPa
σ2 = 422.8 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 422.8 MPa
答え
σmax = 422.8 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 96.89 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2500 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN
答え
Pcr = 96.89 kN
10.柱の座屈
答え: d = 32.26 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 32.26 mm
答え
d = 32.26 mm
確認：細長比 KL/r は 124 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.07906
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·10) = 632.5 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 50/632.5 = 0.07906
答え
ζ = 0.07906
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 3.325 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/80 + 1/30 → keq = 80·30/(80 + 30) = 21.82 kN/m
固有振動数
ωn = √(21818/50) = 20.89 rad/s
fn = 20.89/(2π) = 3.325 Hz
答え
fn = 3.325 Hz
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