歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1500 rpm で回転する 1.5 kW のモータが歯数 12 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 25 の歯車とかみ合っている。 損失は無視する。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 1.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 25η = 100%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、1500 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 18）が歯車 B（歯数 30）を駆動する。歯車 C（歯数 36）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 50）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 1500 rpmA = 18B = 30C = 36D = 50
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 100 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 100 N·mdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 15 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 15 kWN = 500 rpmdi/do = 0.8τallow = 60 MPa
do = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −10 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 40°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −10 MPaσy = −70 MPaτxy = −50 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 20 MPaτxy = −60 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 35 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
σcr = MPa
11.機械振動ふつう
25 kg の質量が、ばね定数 50 kN/m のばねと、減衰係数 670 N·s/m の粘性ダンパで支えられている。減衰比 ζ を求めよ。
m = 25 kgk = 50 kN/mc = 670 N·s/m
ζ =
12.機械振動むずかしい
100 kg の質量が、横に並べた（並列の）2 本のばね k₁ = 60 kN/m、k₂ = 60 kN/m につり下げられている。質量は水平を保つ。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 100 kgk1 = 60 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 19.89 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/157.1 = 9.549 N·m
出力トルク
T2 = 9.549·25/12·1 = 19.89 N·m
答え
T2 = 19.89 N·m
2.歯車と歯車列
答え: nout = 648 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 1500·18/30 = 900 rpm = nC
第 2 段
nout = 900·36/50 = 648 rpm
答え
nout = 648 rpm
全体の速比 = 2.315 : 1
3.軸のねじり
答え: do = 18.94 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·80·0.9375)) = 18.94 mm
di = 0.5·18.94 = 9.468 mm
答え
do = 18.94 mm
中実軸なら d = 18.53 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: do = 34.53 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
許容応力からの外径
T = 286.5 N·m = 286479 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·60·0.5904)) = 34.53 mm
di = 0.8·34.53 = 27.63 mm
答え
do = 34.53 mm
中実軸なら d = 28.97 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 4.031 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −40 − 30·0.1736 − (−50)·0.9848 = 4.031 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −84.03 MPa, σx′ + σy′ = −80 = σx + σy
答え
σy′ = 4.031 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −39.46 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 15 + −5·0.5 + −60·0.866 = −39.46 MPa
答え
σθ = −39.46 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 125 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1.608 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.4/3.199 × 10⁻⁶ = 125032 N = 125 kN
答え
P = 125 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 174.1 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 71.3 MPa
σ2 = 174.1 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 174.1 MPa
答え
σmax = 174.1 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.481 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·5000 = 10000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/10000² = 2481 N = 2.481 kN
答え
Pcr = 2.481 kN
10.柱の座屈
答え: σcr = 4.957 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7.5 = 373.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/373.3² = 4.957 MPa
答え
σcr = 4.957 MPa
11.機械振動
答え: ζ = 0.2996
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
臨界減衰
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·25) = 2236 N·s/m
減衰比
ζ = c/cc = 670/2236 = 0.2996
答え
ζ = 0.2996
ζ < 1 なので、この系は不足減衰で、振動しながら減衰します。
12.機械振動
答え: fn = 5.513 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並べたばねはたわみが共通で、力が足し合わされるので、ばね定数はそのまま足します：k = k1 + k2。
keq = 60 + 60 = 120 kN/m
固有振動数
ωn = √(120000/100) = 34.64 rad/s
fn = 34.64/(2π) = 5.513 Hz
答え
fn = 5.513 Hz
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