歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1440 rpm で回転する 7.5 kW のモータが歯数 30 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 72 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 97% である。 歯車軸の出力トルク T2 を求めよ。
P = 7.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 30N2 = 72η = 97%
T2 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
平行掛けのベルトが、100 rpm の直径 1450 mm の駆動プーリと直径 200 mm のプーリをつなぎ、中心は 600 mm 離れています。摩擦係数は 0.25 で、張り側の張力は 500 N を超えてはなりません。ベルトが滑らずに伝達できる最大動力 P を kW で求めなさい（遠心力の影響は無視します）。
d1 = 100 mmn1 = 1450 rpmd2 = 200 mmC = 600 mmμ = 0.25T1 = 500 N
P = kW
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 0.8 m の B にトルク 750 N·m が作用し、さらに 2 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 30 mmTB = 750 N·mTC = 250 N·mAB = 0.8 mBC = 2 mG = 80 GPa
φC = °
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −50 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 15°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −50 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 50 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 50 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPaθ = 20°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 45 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 45 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
ばね定数 15 kN/m のばねにつながれた 20 kg の質量に、減衰比 0.4 となる粘性ダンパがついている。自由振動の減衰固有振動数 fd を Hz で求めよ。
m = 20 kgk = 15 kN/mζ = 0.4
fd = Hz
12.機械振動むずかしい
25 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 10 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 25 kgk1 = 10 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T2 = 115.8 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/150.8 = 49.74 N·m
出力トルク
T2 = 49.74·72/30·0.97 = 115.8 N·m
答え
T2 = 115.8 N·m
2.歯車と歯車列
答え: P = 1.992 kW
ベルト駆動：滑りがなければ、両方のプーリの周速は同じ v = π·d·n/60 なので、n₁·d₁ = n₂·d₂ となり、速度比は d₂/d₁ です。滑り s があると、従動プーリは少し遅くなります：n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)。伝達される動力は P = (T₁ − T₂)·v で、T₁ は張り側の張力、T₂ は緩み側の張力です。摩擦が張力の比を制限します：T₁/T₂ = eμθ、θ は小さいほうのプーリへの巻き付け角（ラジアン）です。平行掛けのベルトでは、軸間距離 C を使って θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) です。
巻き付け角
θ = 2.975 rad
緩み側の張力
eμθ = e0.7437 = 2.104, T₂ = 500/2.104 = 237.7 N
電力
P = (500 − 237.7)·7.592 = 1.992 kW
答え
P = 1.992 kW
3.軸のねじり
答え: φ = 2.28 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·251327) = 0.03979 rad
φ = 0.03979·180/π = 2.28°
答え
φ = 2.28°
4.軸のねじり
答え: φC = 0.9006 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 750 = −500 N·m
各区間のねじれ角
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −500000·800/(80000·79522) = −0.06288 rad
φBC = 250000·2000/(80000·79522) = 0.0786 rad
端 C のねじれ角
φC = −0.06288 + 0.0786 = 0.01572 rad → |φC| = 0.9006°
答え
φC = 0.9006°
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 4.641 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −10 − (−40)·0.866 − 40·0.5 = 4.641 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −24.64 MPa, σx′ + σy′ = −20 = σx + σy
答え
σy′ = 4.641 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 86.23 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 40 + 10·0.766 + 60·0.6428 = 86.23 MPa
答え
σθ = 86.23 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.713 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 105·1000/314.2 = 334.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 334.2/117000 = 0.002857 = 2857 µε
伸び
δ = ε·L = 0.002857·2000 mm = 5.713 mm
答え
δ = 5.713 mm
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 36.7 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·539961/749401 = 72052 N
応力
σ2 = 72052/1963 = 36.7 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 36.7 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 20.25 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3500² = 20249 N = 20.25 kN
答え
Pcr = 20.25 kN
10.柱の座屈
答え: d = 57.08 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·45000 = 90000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 57.08 mm
答え
d = 57.08 mm
確認：細長比 KL/r は 140.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: fd = 3.995 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
減衰のない固有振動数
ωn = √(15000/20) = 27.39 rad/s
fn = 27.39/(2π) = 4.359 Hz
減衰固有振動数
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4.359·√(1 − 0.4²) = 3.995 Hz
答え
fd = 3.995 Hz
12.機械振動
答え: fn = 2.251 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/10 + 1/10 → keq = 10·10/(10 + 10) = 5 kN/m
固有振動数
ωn = √(5000/25) = 14.14 rad/s
fn = 14.14/(2π) = 2.251 Hz
答え
fn = 2.251 Hz
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