歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
1450 rpm で回転する 7.5 kW のモータが歯数 32 のピニオンを駆動し、ピニオンは歯数 80 の歯車とかみ合っている。 この歯車対の効率は 95% である。 モータ軸のトルク T1 を求めよ。
P = 7.5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 32N2 = 80η = 95%
T1 = N·m
2.歯車と歯車列むずかしい
2900 rpm の 11 kW のモータが歯車 A（歯数 18）を駆動し、A は歯車 B（歯数 30）とかみ合う。B と同じ軸にある歯車 C（歯数 18）が出力軸の歯車 D（歯数 80）を駆動する。各かみ合いの効率は 97% である。出力トルク Tout を求めよ。
P = 11 kWnin = 2900 rpmA = 18B = 30C = 18D = 80ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 2 m の B にトルク 1500 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 2000 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 40 mmTB = 1500 N·mTC = 2000 N·mAB = 2 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −20 MPaσy = 90 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −20 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø30 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 95 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 15 mm の 4 周期後に 4.3 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 15 mmx4 = 4.3 mmn = 4
ζ =
12.機械振動むずかしい
5 kg の質量が、縦につないだ（直列の）2 本のばねにつり下げられている：上のばねは k₁ = 25 kN/m、下のばねは k₂ = 10 kN/m である。 減衰とばねの質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 5 kgk1 = 25 kN/mk2 = 10 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: T1 = 49.39 N·m
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
モータのトルク
ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151.8 = 49.39 N·m
答え
T1 = 49.39 N·m
2.歯車と歯車列
答え: Tout = 252.5 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
出力回転数
nout = 2900·(18/30)·(18/80) = 391.5 rpm
ωout = 2π·391.5/60 = 41 rad/s
出力動力とトルク
Pout = 11000·0.97² = 10350 W
Tout = Pout/ωout = 10350/41 = 252.5 N·m
答え
Tout = 252.5 N·m
3.軸のねじり
答え: φ = 2.923 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·251327) = 0.05101 rad
φ = 0.05101·180/π = 2.923°
答え
φ = 2.923°
4.軸のねじり
答え: τmax = 278.5 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC + TB = 2000 + 1500 = 3500 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 3500 N·m
τmax = 16·3.5 × 10⁶/(π·40³) = 278.5 MPa
答え
τmax = 278.5 MPa
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −75.69 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−30, −20 − 90) = −151.4°
要素上の角度
θp = −75.69°
答え
θp = −75.69°
反時計回りの角度を正とします。
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −23.48 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 25 + −45·0.5 + 30·−0.866 = −23.48 MPa
答え
σθ = −23.48 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: P = 27.36 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1.415 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.3/1.096 × 10⁻⁵ = 27362 N = 27.36 kN
答え
P = 27.36 kN
8.軸応力とひずみ
答え: σmax = 318.3 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 141.5 MPa
σ2 = 318.3 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 318.3 MPa
答え
σmax = 318.3 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 2.559 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·6000 = 12000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/12000² = 2559 N = 2.559 kN
答え
Pcr = 2.559 kN
10.柱の座屈
答え: d = 71.73 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 71.73 mm
答え
d = 71.73 mm
確認：細長比 KL/r は 167.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.04965
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/4)·ln(15/4.3) = 0.3124
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3124/√(39.48 + 0.09757) = 0.04965
答え
ζ = 0.04965
12.機械振動
答え: fn = 6.015 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
直列のばねは同じ力を受け、たわみが足し合わされるので、逆数で合成します：1/k = 1/k1 + 1/k2。
1/keq = 1/25 + 1/10 → keq = 25·10/(25 + 10) = 7.143 kN/m
固有振動数
ωn = √(7143/5) = 37.8 rad/s
fn = 37.8/(2π) = 6.015 Hz
答え
fn = 6.015 Hz
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