歯車と歯車列
- かみ合う歯車
- n1·N1 = n2·N2
- トルク
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 電力
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 複合歯車列
- 全体の速比 = 各段の速比の積
機械設計：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、12 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
機械振動
- 固有振動数
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 静たわみから
- ωn = √(g/δst)
- 臨界減衰
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 減衰比
- ζ = c/cc
- 減衰固有振動数
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 対数減衰率
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 並列ばね
- k = k1 + k2
- 直列ばね
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2演習問題
1.歯車と歯車列ふつう
2 本の平行軸の間隔は 216 mm である。これらをモジュール 4 mm、減速比 5 : 1 の平歯車対で連結しなければならない。 歯車の歯数 N2 はいくつ必要か。
a = 216 mmm = 4 mmi = 5
N2 =
2.歯車と歯車列むずかしい
複合歯車列において、960 rpm で回転する入力軸上の歯車 A（歯数 16）が歯車 B（歯数 60）を駆動する。歯車 C（歯数 12）は B と同じ軸に固定されており、出力軸上の歯車 D（歯数 40）を駆動する。出力回転速度 nout を求めよ。
nin = 960 rpmA = 16B = 60C = 12D = 40
nout = rpm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.75° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −10 MPa、σᵧ = 60 MPa である。最大主応力が 75 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −10 MPaσy = 60 MPaσ1 = 75 MPa
τxy = MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1000 mm、肉厚 12 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 35° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目に沿って作用するせん断応力の大きさ |τn| を求めよ。
D = 1000 mmt = 12 mmp = 1.5 MPaα = 35°
|τn| = MPa
7.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 75 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
8.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 20 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
9.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 15 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 15 kNn = 2.5L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
11.機械振動ふつう
減衰のある質量–ばね系の自由振動試験で、変位のピーク 30 mm の 1 周期後に 18.1 mm のピークが現れた。 減衰比 ζ を求めよ。
x0 = 30 mmx1 = 18.1 mmn = 1
ζ =
12.機械振動むずかしい
20 kg の質量がばね k₃ = 80 kN/m につり下げられている。k₃ の上端は剛体の棒に取り付けられ、その棒は横に並べた 2 本のばね k₁ = 50 kN/m と k₂ = 5 kN/m からつり下げられている。棒は水平を保つ。 減衰とばね・棒の質量は無視する。上下振動の固有振動数 fn を Hz で求めよ。
m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 5 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3溶液
1.歯車と歯車列
答え: N2 = 90
歯車の幾何：モジュール m が歯の大きさを決めます。歯数 N の歯車のピッチ円直径は d = m·N、かみ合う 2 つの歯車のモジュールは等しく、中心距離は a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2 です。ピッチ円周速度は v = π·d·n/60 で、接線方向の歯面力はトルクから Ft = 2T/d となります。
歯数の合計
N1 + N2 = 2a/m = 2·216/4 = 108
比で分ける
N1 = 108/(1 + 5) = 18
N2 = 5·18 = 90
答え
N2 = 90
2.歯車と歯車列
答え: nout = 76.8 rpm
歯車列：かみ合う歯車は歯の部分で同じ速さで動くので、n₁·N₁ = n₂·N₂ となり、歯数の少ない歯車ほど速く回ります。同じ軸に取り付けた歯車は同じ回転速度で回ります。動力は（損失を除いて）そのまま伝わるので、回転速度が下がるとトルクは上がります：T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η。また P = T·ω、ただし ω = 2π·n/60。
第 1 段
nB = 960·16/60 = 256 rpm = nC
第 2 段
nout = 256·12/40 = 76.8 rpm
答え
nout = 76.8 rpm
全体の速比 = 12.5 : 1
3.軸のねじり
答え: φ = 3.42 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·251327) = 0.05968 rad
φ = 0.05968·180/π = 3.42°
答え
φ = 3.42°
4.軸のねじり
答え: d = 41.47 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
強度から決まる直径
T = 98.79 N·m = 98786 N·mm
dτ = ∛(16·98786/(π·60)) = 20.32 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·98786/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 41.47 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(20.32, 41.47) = 41.47 mm
答え
d = 41.47 mm
ここでは剛性で決まります。
5.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 35.71 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−10 + 60)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 75 − 25 = 50 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 35²) = 35.71 MPa
答え
τxy = 35.71 MPa
6.モールの応力円と応力の座標変換
答え: |τn| = 14.68 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 1.5·500/12 = 62.5 MPa
σa = pr/(2t) = 31.25 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
|τn| = (62.5 − 31.25)·sin 35°·cos 35° = 14.68 MPa
答え
|τn| = 14.68 MPa
7.軸応力とひずみ
答え: ε = 9474 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 663.1/70000 = 0.009474 = 9474 µε
答え
ε = 9474 µε
8.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 4.651 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 20000·678584/1.032 × 10⁶ = 13151 N
応力
σ2 = 13151/2827 = 4.651 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 4.651 MPa
9.柱の座屈
答え: Pcr = 12.44 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2500 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/2500² = 12436 N = 12.44 kN
答え
Pcr = 12.44 kN
10.柱の座屈
答え: d = 45.86 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 45.86 mm
答え
d = 45.86 mm
確認：細長比 KL/r は 174.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
11.機械振動
答え: ζ = 0.08016
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
対数減衰率
δ = (1/1)·ln(30/18.1) = 0.5053
減衰比
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5053/√(39.48 + 0.2553) = 0.08016
答え
ζ = 0.08016
12.機械振動
答え: fn = 6.425 Hz
質量–ばね系の自由振動：減衰のない固有角振動数は ωn = √(k/m)（rad/s）、固有振動数は fn = ωn/(2π)（Hz）です。粘性ダンパ c による減衰比は ζ = c/cc で、臨界減衰係数は cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn です。不足減衰系（ζ < 1）は ωd = ωn·√(1 − ζ²) で振動します。並列ばねは k = k₁ + k₂ と足し合わせ、直列ばねは逆数で 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ と足し合わせます。
等価ばね定数
並列なのは k1 と k2 だけです。その組が k3 と直列なので、逆数で合成しましょう。
k12 = 50 + 5 = 55 kN/m
keq = 55·80/(55 + 80) = 32.59 kN/m
固有振動数
ωn = √(32593/20) = 40.37 rad/s
fn = 40.37/(2π) = 6.425 Hz
答え
fn = 6.425 Hz
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