軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 65 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 300 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 40 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1800 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mP1 = 80 kN 位置 2 mP2 = 50 kN 位置 7 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 35 kN 位置 2.5 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 84 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mm穴の中心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 300 mm の板に、幅 80 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 180 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 300 mm切り欠き: 80 × 50 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = 50 MPa である。最大主応力が 80 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 20 MPaσy = 50 MPaσ1 = 80 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が軸圧縮力 110 kNとトルク 100 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 25 mmF = −110 kNT = 100 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 3 mP = 45 kN 位置 1.5 m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 2763 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 65·1000/201.1 = 323.3 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 323.3/117000 = 0.002763 = 2763 µε
答え
ε = 2763 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 10.78 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 120000·2827/300 = 1.131 × 10⁶ N/mm
区間 2 の分担
F2 = 40000·1.131 × 10⁶/1.484 × 10⁶ = 30476 N
応力
σ2 = 30476/2827 = 10.78 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 10.78 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 11.49 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·38350) = 0.2006 rad
φ = 0.2006·180/π = 11.49°
答え
φ = 11.49°
4.軸のねじり
答え: d = 37.81 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 100000/188.5 = 530.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·530516/(π·50)) = 37.81 mm
答え
d = 37.81 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 132.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 80·2 + 50·7
RB = 510/8 = 63.75 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 63.75 = 66.25 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 66.25·2 = 132.5 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 63.75·1 = 63.75 kN·m
最大値
Mmax = 132.5 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 132.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 12.13 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·2.5 + 3·5·2.5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
x = 4.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 25·4.5 − 35·(4.5 − 2.5) − 3·4.5·2.25 = 12.13 kN·m
答え
Mx = 12.13 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 137.3 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (28800·120 − 706.9·84)/(28800 − 706.9) = 120.9 mm
ȳ まわりの全体の板
120·240³/12 + 28800·−0.9058² = 138.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·30⁴/64 + 706.9·−36.91² = 1.003 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 137.3 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 137.3 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 332.7 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (45000·150 − 4000·180)/(45000 − 4000) = 147.1 mm
ȳ まわりの全体の板
150·300³/12 + 45000·2.927² = 337.9 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
80·50³/12 + 4000·32.93² = 5.17 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 332.7 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 332.7 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 42.43 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (20 + 50)/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 80 − 35 = 45 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 15²) = 42.43 MPa
答え
τxy = 42.43 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 4.645 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −110000/(π·25²/4) = −110000/490.9 = −224.1 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·25³) = 32.59 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −112 MPa
R = √((−112)² + 32.59²) = 116.7 MPa
σ1 = C + R = 4.645 MPa
σ2 = C − R = −228.7 MPa
答え
σ1 = 4.645 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 13.33 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 13.33 mm
答え
δmax = 13.33 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 14.06 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·45/16 = 14.06 kN
答え
RB = 14.06 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 38.59 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38.59 kN
答え
Pcr = 38.59 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 145 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/15 = 116.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/116.7² = 145 MPa
答え
σcr = 145 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials