軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 200 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 750 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 750 N·mdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1000 rpm で 20 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
25 kN @ 4 m40 kN @ 5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 8 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mP = 10 kN 位置 8 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）x = 8 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 220 mm、厚さ 22 mm、全高は 380 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 200 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 220 mmH = 380 mmtf = 22 mmtw = 12 mmM = 200 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 10 MPaσy = −20 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が曲げモーメント 200 N·mとトルク 1000 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 25 mmM = 200 N·mT = 1000 N·m
τmax = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 9 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.08706 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·7461 = 9.189 × 10⁸ N
縮み
δ = 200000·400/9.189 × 10⁸ = 0.08706 mm
答え
δ = 0.08706 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 37.93 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·458149/615229 = 74468 N
応力
σ2 = 74468/1963 = 37.93 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 37.93 MPa
3.軸のねじり
答え: do = 43.76 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0.7599)) = 43.76 mm
di = 0.7·43.76 = 30.63 mm
答え
do = 43.76 mm
中実軸なら d = 39.93 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 23.49 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23.49 mm
答え
d = 23.49 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 4 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 15 kN, R2 = 50 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 15, MC = 30, MD = 45, ME = 60 kN·m, MF = 50, MG = 0
答え
点 E: ME = 60 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 64 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·8 + 6·10·5
RB = 380/10 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 38 = 32 kN
x = 8 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 32·8 − 6·8·4 = 64 kN·m
答え
Mx = 64 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 7.209 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
ウェブ: Aw = 16·120 = 1920 mm², yw = 120/2 = 60 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·127.5 + 1920·60)/4320 = 97.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·15³/12 + 2400·(127.5 − 97.5)² = 2.205 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·120³/12 + 1920·(60 − 97.5)² = 5.004 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.205 × 10⁶ + 5.004 × 10⁶ = 7.209 × 10⁶ mm⁴ = 7.209 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 7.209 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 109 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 380 − 2·22 = 336 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (220·380³ − 208·336³)/12
Ix = 3.485 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 190 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·190/3.485 × 10⁸ = 109 MPa
答え
σmax = 109 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 52.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((10 − −20)/2)² + 50²) = 52.2 MPa
答え
τmax = 52.2 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 332.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·25³) = 130.4 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·25³) = 325.9 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 65.19 MPa
R = √(65.19² + 325.9²) = 332.4 MPa
答え
τmax = 332.4 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 1.496 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.496 mm
答え
δmax = 1.496 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 2.43 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 9000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm, EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 9000·1500³/(48·3.96 × 10¹¹) = 1.598 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·1500⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 0.8323 mm
足し合わせる
δmax = 1.598 + 0.8323 = 2.43 mm
答え
δmax = 2.43 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 107.4 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1000 = 700 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/700² = 107424 N = 107.4 kN
答え
Pcr = 107.4 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 7.896 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/20 = 500
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa
答え
σcr = 7.896 MPa
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