材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12400 mm400 mmØ30Ø40δ = 0.2 mm

棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 25 mm銅2 mØ 16 mm鋼0.5 mP = 110 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 110 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = ?5 kW, 750 rpm

黄銅製の中実軸が 750 rpm で 5 kW を伝達する。せん断応力は 50 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 5 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
10 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
15 kN/m20 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 12 m30 kN @ 4 m15 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm150 mm60 mmØ40xIx​ = ?

150 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 60 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm300 mm195 mm60 × 20xIx​ = ?

150 mm × 300 mm の板に、幅 60 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 195 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mm切り欠き: 60 × 20 mm穴の中心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 10τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −60 MPaσy = 10 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 20σy​ = −30τxy​ = −10MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 20 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 20 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 11 kNABδ2.5 m1.5 m

単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。

P = 11 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 6 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 36.48 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2.653 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.2/5.482 × 10⁻⁶ = 36483 N = 36.48 kN

答え

P = 36.48 kN
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 5.198 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 224.1 MPa
σ2 = 547.1 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 224.1·2000/117000 = 3.831 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 547.1·500/200000 = 1.368 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.198 mm

答え

δ = 5.198 mm
3.軸のねじり

答え: φ = 5.343 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·251327) = 0.09325 rad
φ = 0.09325·180/π = 5.343°

答え

φ = 5.343°
4.軸のねじり

答え: d = 31.24 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m

強度から決まる直径

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·50)) = 18.65 mm

剛性から決まる直径

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·63662/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 31.24 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(18.65, 31.24) = 31.24 mm

答え

d = 31.24 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 48.33 kN, R2 = 66.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 43.33, MC = 76.67, MD = 100, ME = 113.3 kN·m, MF = 61.67, MG = 0

答え

点 E: ME = 113.3 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 65 kN, R2 = 105 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 100, MC = 140 kN·m, MD = 60, ME = −80, MF = −40, MG = 0

答え

点 C: MC = 140 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 41.76 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 1257·60)/(22500 − 1257) = 75.89 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·−0.8873² = 42.21 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·−15.89² = 0.4428 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 41.76 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 41.76 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 335 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (45000·150 − 1200·195)/(45000 − 1200) = 148.8 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·1.233² = 337.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·20³/12 + 1200·46.23² = 2.605 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 335 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 335 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 46.1 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−60 − 10)/2)² + −30²) = 46.1 MPa

答え

τmax = 46.1 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 11.65 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = −5 + 25·0.866 + −10·0.5 = 11.65 MPa

答え

σθ = 11.65 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 55.03 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·6000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 55.03 mm

答え

δmax = 55.03 mm
12.はりのたわみ

答え: δmid = 5.586 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 11000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

中央たわみ

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 11000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·2.4 × 10¹²) = 5.586 mm

答え

δmid = 5.586 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 71.19 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1050² = 71188 N = 71.19 kN

答え

Pcr = 71.19 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 6.294 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/7.5 = 560

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/560² = 6.294 MPa

答え

σcr = 6.294 MPa

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