材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 20 mm鋼1 mP = 50 kN

軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 50 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
30 kN12400 mm400 mmØ20Ø30σ2​ = ?

鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 50 mmTB​ = 500 N·mTC​ = 750 N·mABC0.5 m1.5 m

直径 50 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 0.5 m の B にトルク 500 N·m が作用し、さらに 1.5 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 750 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。

d = 50 mmTB = 500 N·mTC = 750 N·mAB = 0.5 mBC = 1.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 70 kNP2​ = 50 kNABC5 m3 m1.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 9.5 mP1 = 70 kN 位置 5 mP2 = 50 kN 位置 9.5 m支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mABC5 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 7 mw = 10 kN/m（0 から 7 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm300 mm195 mmØ30xIx​ = ?

150 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 195 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mm穴の中心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
140320186xM = 20 kN·m寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 140 mm、厚さ 18 mm、全高は 320 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 20 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。

B = 140 mmH = 320 mmtf = 18 mmtw = 6 mmM = 20 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −10σy​ = −70τxy​ = 20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −10 MPaσy = −70 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 110σy​ = −40τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 110 MPaσy = −40 MPaτxy = −30 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mP = 14 kNABδ2 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 14 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 3 kN/mABδ3.5 m

幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 3 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 m40 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 50 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 50 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 50 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.7958 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 159.2/200000 = 0.0007958 = 795.8 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0007958·1000 mm = 0.7958 mm

答え

δ = 0.7958 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σ2 = 24.38 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 120000·706.9/400 = 212058 N/mm

区間 2 の分担

F2 = 30000·212058/369137 = 17234 N

応力

σ2 = 17234/706.9 = 24.38 MPa （圧縮）

答え

σ2 = 24.38 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 7.183 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(26000·613592) = 0.1254 rad
φ = 0.1254·180/π = 7.183°

答え

φ = 7.183°
4.軸のねじり

答え: φC = 2.043 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

内部トルク

TC の向きを正とする。

TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC + TB = 750 + 500 = 1250 N·m

各区間のねじれ角

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 1.25 × 10⁶·500/(80000·613592) = 0.01273 rad
φBC = 750000·1500/(80000·613592) = 0.02292 rad

端 C のねじれ角

φC = 0.01273 + 0.02292 = 0.03565 rad → |φC| = 2.043°

答え

φC = 2.043°
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 84.38 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·8 = 70·5 + 50·9.5
RB = 825/8 = 103.1 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 103.1 = 16.88 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·5 = 16.88·5 = 84.38 kN·m

答え

Mx = 84.38 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 22.05 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·7·3.5
RB = 245/5 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 49 = 21 kN

せん断力 0 の位置

RA − w·x0 = 0 → x0 = 21/10 = 2.1 m

最大の正の曲げモーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 21²/(2·10) = 22.05 kN·m

答え

Mmax = 22.05 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 336 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (45000·150 − 706.9·195)/(45000 − 706.9) = 149.3 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·0.7181² = 337.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·45.72² = 1.517 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 336 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 336 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σmax = 25.3 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 320 − 2·18 = 284 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·320³ − 134·284³)/12
Ix = 1.265 × 10⁸ mm⁴

曲げ応力

y = 160 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·160/1.265 × 10⁸ = 25.3 MPa

答え

σmax = 25.3 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 36.06 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−10 − −70)/2)² + 20²) = 36.06 MPa

答え

τmax = 36.06 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 111.7 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 35 + 75·0.766 + −30·−0.6428 = 111.7 MPa

答え

σθ = 111.7 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 8.016 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·8.4 × 10¹²) = 4.444 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 3.571 mm

足し合わせる

δ = 4.444 + 3.571 = 8.016 mm

答え

δ = 8.016 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 163.7 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9.722) = 5.481 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·5.481 × 10⁷/150)1/3 = 163.7 mm

答え

hreq = 163.7 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 60.16 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/1750² = 60158 N = 60.16 kN

答え

Pcr = 60.16 kN
14.柱の座屈

答え: d = 86.4 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·50000 = 150000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 86.4 mm

答え

d = 86.4 mm

確認：細長比 KL/r は 277.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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