材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mm鋼0.5 mP = 100 kN

軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 100 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø20100 GPaØ120/50400 mm

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 500 N·m

中空軸がトルク 500 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 500 N·mdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 80 mm, di​ = 56 mm

中空軸が 750 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 75 kWN = 750 rpmdo = 80 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 10 kNP2​ = 30 kNAB1.5 m1 m1.5 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mP1 = 10 kN 位置 1.5 mP2 = 30 kN 位置 2.5 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mP = 35 kNAB断面4 m1.5 m4.5 m

支点 A から x = 5.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP = 35 kN 位置 4 mw = 2 kN/m（0 から 10 m まで）x = 5.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 150d = 126寸法の単位：mm

円管の外径は D = 150 mm、内径は d = 126 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 150 mmd = 126 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm200 mm80 mm50 × 50xIx​ = ?

200 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 50 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 30σy​ = 10τxy​ = −10MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 30 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = 30 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −60σy​ = 100τxy​ = −40MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = −60 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mP = 22 kNABδ1.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 22 kNw = 8 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mAB8 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 8 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 5 m20 × 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 15 kNL = 1.5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 15 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 15 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 2.21 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 100·1000/113.1 = 884.2 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 884.2/200000 = 0.004421 = 4421 µε

伸び

δ = ε·L = 0.004421·500 mm = 2.21 mm

答え

δ = 2.21 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 598.5 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·9346 = 9.975 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.00125, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)

最大荷重

Pmax = 0.0006·9.975 × 10⁸ = 598473 N = 598.5 kN

答え

Pmax = 598.5 kN
3.軸のねじり

答え: do = 33.19 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·80·0.8704)) = 33.19 mm
di = 0.6·33.19 = 19.92 mm

答え

do = 33.19 mm

中実軸なら d = 31.69 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: τmax = 12.5 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m

断面二次極モーメント

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 954930·40/3.056 × 10⁶ = 12.5 MPa

答え

τmax = 12.5 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 33.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 10·1.5 + 30·2.5
RB = 90/4 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 22.5 = 17.5 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·1.5 = 17.5·1.5 = 26.25 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1.5 = 22.5·1.5 = 33.75 kN·m

最大値

Mmax = 33.75 kN·m (荷重点 P2)

答え

Mmax = 33.75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 87.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·4 + 2·10·5
RB = 240/10 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 24 = 31 kN
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = 31RB​ = 24断面4 m1.5 m4.5 m

x = 5.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 31·5.5 − 35·(5.5 − 4) − 2·5.5·2.75 = 87.75 kN·m

答え

Mx = 87.75 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 48.97 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 5202 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.248 × 10⁷ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.248 × 10⁷/5202) = 48.97 mm

答え

r = 48.97 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 131.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (40000·100 − 2500·80)/(40000 − 2500) = 101.3 mm

ȳ まわりの全体の板

200·200³/12 + 40000·−1.333² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·50³/12 + 2500·−21.33² = 1.659 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 131.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 131.7 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 17.07 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = 20 MPa, R = √(10² + (−10)²) = 14.14 MPa
σ1 = 34.14 MPa, σ2 = 5.858 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(28.28, 34.14, 5.858)/2 = 17.07 MPa

答え

τabs = 17.07 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τθ = 80 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

τθ = −−80·1 + −40·0 = 80 MPa

答え

τθ = 80 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 11.83 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 22000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 22000·1500³/(3·2.52 × 10¹²) = 9.821 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 2.009 mm

足し合わせる

δ = 9.821 + 2.009 = 11.83 mm

答え

δ = 11.83 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 45 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·8/8 = 45 kN

答え

RB = 45 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 2.256 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/3500² = 2256 N = 2.256 kN

答え

Pcr = 2.256 kN
14.柱の座屈

答え: d = 37.56 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·15000 = 30000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 37.56 mm

答え

d = 37.56 mm

確認：細長比 KL/r は 159.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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