材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
150 kNØ2070 GPaØ120/70400 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 150 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø4070 GPaØ100/70500 mm

鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 25 mmT0​ = 250 N·mACBa = 1.5 mb = 0.5 m

直径 25 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.5 m、B から 0.5 m の C にトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 25 mmT0 = 250 N·ma = 1.5 mb = 0.5 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 50 kNP2​ = 10 kNAB1 m3 m1 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mP1 = 50 kN 位置 1 mP2 = 10 kN 位置 4 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 65 kNAB3 m1 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 4 mP = 65 kN 位置 3 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
22060t = 14ȳ = ?寸法の単位：mm

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 220 mm の底板と、全高 60 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 14 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 220 mmh = 60 mmt = 14 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150210223002216x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 150 × 22 mm、高さ 300 mm・厚さ 16 mm のウェブ、下フランジ 210 × 22 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 150 × 22 mmウェブ: 16 × 300 mm下フランジ: 210 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 40σy​ = 120τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −20σy​ = 100τxy​ = −20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = −20 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 12 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 10 kNABδ7 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。

P = 10 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 4 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 2.5 md = 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.1025 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·7461 = 5.851 × 10⁸ N

縮み

δ = 150000·400/5.851 × 10⁸ = 0.1025 mm

答え

δ = 0.1025 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 425.4 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5.317 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0008571) = 0.0008 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.0008·5.317 × 10⁸ = 425372 N = 425.4 kN

答え

Pmax = 425.4 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 4.384 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(26000·251327) = 0.07652 rad
φ = 0.07652·180/π = 4.384°

答え

φ = 4.384°
4.軸のねじり

答え: τmax = 61.12 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·0.5/2 = 62.5 N·m
TB = 250·1.5/2 = 187.5 N·m

最大せん断応力

2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。

τmax = 16·187500/(π·25³) = 61.12 MPa

答え

τmax = 61.12 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 42 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 50·1 + 10·4
RB = 90/5 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 18 = 42 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·1 = 42·1 = 42 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 18·1 = 18 kN·m

最大値

Mmax = 42 kN·m (荷重点 P1)

答え

Mmax = 42 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 66.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 65·3 + 12·4·2
RB = 291/4 = 72.75 kN
ΣFy = 0: RA = 113 − 72.75 = 40.25 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(3⁻) = RA − w·3 = 4.25 kN
V(3⁺) = 4.25 − 65 = −60.75 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 40.25·3 − 12·3²/2 = 66.75 kN·m

答え

Mmax = 66.75 kN·m

それは A から x = 3 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 15.85 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A1 = 220·14 = 3080 mm², y1 = 7 mm
2 本の脚: A2 = 2·14·46 = 1288 mm², y2 = 14 + 46/2 = 37 mm

図心

ȳ = (3080·7 + 1288·37)/4368 = 15.85 mm

答え

ȳ = 15.85 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 238.1 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3300 mm², y = 333 mm
ウェブ: A = 4800 mm², y = 172 mm
下フランジ: A = 4620 mm², y = 11 mm

図心

ȳ = (3300·333 + 4800·172 + 4620·11)/12720 = 155.3 mm

平行軸の定理

上フランジ: 150·22³/12 + 3300·177.7² = 1.043 × 10⁸ mm⁴
ウェブ: 16·300³/12 + 4800·16.71² = 3.734 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 210·22³/12 + 4620·144.3² = 9.638 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.043 × 10⁸ + 3.734 × 10⁷ + 9.638 × 10⁷
Ix = 2.381 × 10⁸ mm⁴ = 238.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 238.1 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = −71.57 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·−30, 40 − 120) = −143.1°

要素上の角度

θp = −71.57°

答え

θp = −71.57°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 6.893 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 40 + −60·0.766 + −20·−0.6428 = 6.893 MPa

答え

σθ = 6.893 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 15.07 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·8.4 × 10¹¹) = 15.07 mm

答え

δmax = 15.07 mm
12.はりのたわみ

答え: δmid = 24.33 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 10000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

中央たわみ

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 10000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1.61 × 10¹²) = 24.33 mm

答え

δmid = 24.33 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 6.867 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·4000 = 8000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6.867 kN

答え

Pcr = 6.867 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 22.56 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/10 = 175

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22.56 MPa

答え

σcr = 22.56 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials