軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 20 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中空軸（外径 30 mm、内径 21 mm、長さ 0.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 0.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 10 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 10 kWN = 300 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 8 kN/m（0 から 8 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
50 kN @ 0 m10 kN @ 12 m50 kN @ 6 m6 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
円管の外径は D = 190 mm、内径は d = 166 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
D = 190 mmd = 166 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 10 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 260 mmM = 10 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 30 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 150 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 30 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 13 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 65.82 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1.592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1257) = 1.447 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/3.038 × 10⁻⁶ = 65824 N = 65.82 kN
答え
P = 65.82 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.251 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 15.92 MPa
σ2 = 63.66 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 15.92·1500/70000 = 0.341 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 63.66·1000/70000 = 0.9095 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.251 mm
答え
δ = 1.251 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 5.926 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴
ねじれ角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(80000·60428) = 0.1034 rad
φ = 0.1034·180/π = 5.926°
答え
φ = 5.926°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.006 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 318310·30/1.193 × 10⁶ = 8.006 MPa
答え
τmax = 8.006 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 55 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·8·4
RB = 256/8 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 64 − 32 = 32 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 32·2.5 − 8·2.5·1.25 = 55 kN·m
答え
Mx = 55 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: B (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 94.67 kN, R2 = 51.33 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −100 kN·m, MC = −22.67, MD = 30.67, ME = −40, MF = −20, MG = 0
答え
点 B: MB = −100 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 63.08 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
A = π(D² − d²)/4 = 6710 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2.67 × 10⁷ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(2.67 × 10⁷/6710) = 63.08 mm
答え
r = 63.08 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 9.567 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
ウェブ: Aw = 18·260 = 4680 mm², yw = 260/2 = 130 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·275 + 4680·130)/10680 = 211.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 200·30³/12 + 6000·(275 − 211.5)² = 2.467 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 18·260³/12 + 4680·(130 − 211.5)² = 5.742 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.467 × 10⁷ + 5.742 × 10⁷ = 8.209 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 290 − 211.5 = 78.54 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·78.54/8.209 × 10⁷ = 9.567 MPa
答え
σ上端 = 9.567 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 73.15 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 30 − 120) = 146.3°
要素上の角度
θp = 73.15°
答え
θp = 73.15°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 70 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 40 + 110·0 + −30·−1 = 70 MPa
答え
σθ = 70 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 12.78 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 30000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 30000·1000²·3000²/(3·1.76 × 10¹²·4000) = 12.78 mm
答え
δP = 12.78 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 2.796 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 13000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 13000·2000³/(48·9.24 × 10¹¹) = 2.345 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 0.4509 mm
足し合わせる
δmax = 2.345 + 0.4509 = 2.796 mm
答え
δmax = 2.796 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 113.4 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/3500² = 113394 N = 113.4 kN
答え
Pcr = 113.4 kN
14.柱の座屈
答え: d = 47.45 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 47.45 mm
答え
d = 47.45 mm
確認：細長比 KL/r は 105.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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