軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 300 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 30 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中空軸（外径 75 mm、内径 45 mm、長さ 1.2 m）が一端で固定され、他端でトルク 2000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 2000 N·mdo = 75 mmdi = 45 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 15 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP1 = 70 kN 位置 2.5 mP2 = 45 kN 位置 5 m支点の位置 x = 0 と x = 4 m
MB = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 60 kN 位置 2 mw = 3 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 180 mm、外高は H = 375 mm、壁厚は一様に t = 16 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
B = 180 mmH = 375 mmt = 16 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 240 mm の板に、幅 40 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 144 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 240 mm切り欠き: 40 × 30 mm穴の中心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 160 MPaσy = −40 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 45° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 79.07 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9.646 × 10⁻⁷ mm/N
荷重
P = 0.3/3.794 × 10⁻⁶ = 79072 N = 79.07 kN
答え
P = 79.07 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.362 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 31.18 MPa
σ2 = 265.3 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 31.18·1500/100000 = 0.4677 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265.3·500/70000 = 1.895 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.362 mm
答え
δ = 2.362 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 0.6357 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(80000·2.704 × 10⁶) = 0.0111 rad
φ = 0.0111·180/π = 0.6357°
答え
φ = 0.6357°
4.軸のねじり
答え: do = 21.28 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
許容応力からの外径
T = 98.79 N·m = 98786 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·98786/(π·60·0.8704)) = 21.28 mm
di = 0.6·21.28 = 12.77 mm
答え
do = 21.28 mm
中実軸なら d = 20.32 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MB = −45 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·4 = 70·2.5 + 45·5
RB = 400/4 = 100 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 100 = 15 kN
B で切断し、張出し部を残す
張出し部には P2 だけが腕の長さ a で作用します。これにより、はりは支点上で上に凸に曲がります（負の曲げ）。
MB = −P2·a = −45·1 = −45 kN·m
答え
MB = −45 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 73.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2 + 3·6·3
RB = 174/6 = 29 kN
ΣFy = 0: RA = 78 − 29 = 49 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 49·3 − 60·(3 − 2) − 3·3·1.5 = 73.5 kN·m
答え
Mx = 73.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 132.4 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
b = 148 mm, h = 343 mm
A = BH − bh = 180·375 − 148·343 = 16736 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2.933 × 10⁸ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(2.933 × 10⁸/16736) = 132.4 mm
答え
r = 132.4 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 172 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (36000·120 − 1200·144)/(36000 − 1200) = 119.2 mm
ȳ まわりの全体の板
150·240³/12 + 36000·0.8276² = 172.8 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·30³/12 + 1200·24.83² = 0.8297 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 172 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 172 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 107.7 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((160 − −40)/2)² + 40²) = 107.7 MPa
答え
τmax = 107.7 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 30 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −30·−1 + −50·0 = 30 MPa
答え
τθ = 30 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 11.23 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 11.23 mm
答え
δ = 11.23 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 5.232 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·2500⁴/(384·70000·6.944) = 5.232 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 5.232 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 5.232 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 27.56 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN
答え
Pcr = 27.56 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 8.567 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
答え
σcr = 8.567 MPa
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