材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
50 kNØ30110 GPaØ120/50300 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 50 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø2570 GPaØ100/50500 mm

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
do​ = 30, di​ = 23 mmT = 1000 N·mL = 0.5 m

黄銅製の中空軸（外径 30 mm、内径 23 mm、長さ 0.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·mdo = 30 mmdi = 23 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 40 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 2 mb = 1 m

直径 40 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 2 m、B から 1 m の C にトルク 1000 N·m が作用する。 壁 A における反力トルク TA を求めよ。

d = 40 mmT0 = 1000 N·ma = 2 mb = 1 m
TA = N·m
5.せん断力と曲げモーメントふつう
10 kN/m50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 6 m10 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 60 kNAB断面4.5 m1.5 m

支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 60 kN 位置 4.5 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm200 mm120 mmØ60xIx​ = ?

100 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 120 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm穴の中心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm300 mm210 mm60 × 50xIx​ = ?

120 mm × 300 mm の板に、幅 60 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 210 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 300 mm切り欠き: 60 × 50 mm穴の中心: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 50σy​ = −80τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 50 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = 50 MPaσy = −80 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 110σy​ = 40τxy​ = −60MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 110 MPaσy = 40 MPaτxy = −60 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 13 kNABδ5.5 m2.5 m

単純ばりの支点 B から b = 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 13 kNb = 2.5 mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 3 m20 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 3 md = 20 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.01283 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·9346 = 1.169 × 10⁹ N

縮み

δ = 50000·300/1.169 × 10⁹ = 0.01283 mm

答え

δ = 0.01283 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 510.5 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5890 = 5.105 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.00125, 0.001) = 0.001 (アルミニウム)

最大荷重

Pmax = 0.001·5.105 × 10⁸ = 510509 N = 510.5 kN

答え

Pmax = 510.5 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 14.11 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

ねじれ角

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(39000·52048) = 0.2463 rad
φ = 0.2463·180/π = 14.11°

答え

φ = 14.11°
4.軸のねじり

答え: TA = 333.3 N·m

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·1/3 = 333.3 N·m
TB = 1000·2/3 = 666.7 N·m

答え

TA = 333.3 N·m
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 60 kN, R2 = 50 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 120, MC = 220, MD = 280 kN·m, ME = 200, MF = 100, MG = 0

答え

点 D: MD = 280 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 101.3 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4.5 + 10·6·3
RB = 450/6 = 75 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 75 = 45 kN
w = 10 kN/mP = 60 kNABRA​ = 45RB​ = 75断面4.5 m1.5 m

x = 4.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 45·4.5 − 10·4.5·2.25 = 101.3 kN·m

答え

Mx = 101.3 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 64.71 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 2827·120)/(20000 − 2827) = 96.71 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·3.293² = 66.88 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·23.29² = 2.17 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 64.71 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 64.71 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 257.6 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·150 − 3000·210)/(36000 − 3000) = 144.5 mm

ȳ まわりの全体の板

120·300³/12 + 36000·5.455² = 271.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·50³/12 + 3000·65.45² = 13.48 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 257.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 257.6 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = −12.39 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·−30, 50 − −80) = −24.78°

要素上の角度

θp = −12.39°

答え

θp = −12.39°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τθ = −35 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

τθ = −35·1 + −60·0 = −35 MPa

答え

τθ = −35 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 1.272 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 1.272 mm

答え

δmax = 1.272 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 3.574 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 13000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2500²)/3) = 4387 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 3.574 mm

答え

δmax = 3.574 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 5.222 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2100² = 5222 N = 5.222 kN

答え

Pcr = 5.222 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 7.676 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
KL/r = 1500/5 = 300

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7.676 MPa

答え

σcr = 7.676 MPa

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