軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 10 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 200 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 50 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mP1 = 45 kN 位置 2.5 mP2 = 65 kN 位置 4 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 7 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 30 kN 位置 7 mw = 2 kN/m（0 から 8 m まで）x = 7 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 144 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mm穴の中心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 30 MPa、圧縮で 100 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。
bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 180 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 140 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 140 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −40 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −40 MPaσy = 60 MPaτxy = 20 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 1263 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113.1 = 88.42 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 88.42/70000 = 0.001263 = 1263 µε
答え
ε = 1263 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 15.4 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1.414 × 10⁶ N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·1.414 × 10⁶/1.623 × 10⁶ = 43548 N
応力
σ2 = 43548/2827 = 15.4 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 15.4 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 23.09 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·79522) = 0.4031 rad
φ = 0.4031·180/π = 23.09°
答え
φ = 23.09°
4.軸のねじり
答え: d = 21.64 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21.64 mm
答え
d = 21.64 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 88.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2.5 + 65·4
RB = 372.5/5 = 74.5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 74.5 = 35.5 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2.5 = 35.5·2.5 = 88.75 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 74.5·1 = 74.5 kN·m
最大値
Mmax = 88.75 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 88.75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 33.25 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·7 + 2·8·4
RB = 274/8 = 34.25 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 34.25 = 11.75 kN
x = 7 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 11.75·7 − 2·7·3.5 = 33.25 kN·m
答え
Mx = 33.25 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (28800·120 − 1257·144)/(28800 − 1257) = 118.9 mm
ȳ まわりの全体の板
120·240³/12 + 28800·1.095² = 138.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·40⁴/64 + 1257·25.09² = 0.917 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 137.4 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 2.436 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (2600·185 + 1440·90)/4040 = 151.1 mm
上縁: c = 190 − 151.1 = 38.86 mm
断面二次モーメント
I = 260·10³/12 + 2600·33.86² + 8·180³/12 + 1440·61.14² = 1.227 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。
上縁: M = 100·1.227 × 10⁷/38.86 = 31.58 kN·m
下縁: M = 30·1.227 × 10⁷/151.1 = 2.436 kN·m
決定値
Mallow = min = 2.436 kN·m (下縁)
答え
Mallow = 2.436 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 85.45 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 115 MPa, R = √(25² + (−50)²) = 55.9 MPa
σ1 = 170.9 MPa, σ2 = 59.1 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(111.8, 170.9, 59.1)/2 = 85.45 MPa
答え
τabs = 85.45 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −6.818 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 10 + −50·0.6428 + 20·0.766 = −6.818 MPa
答え
σθ = −6.818 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 11.11 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 11.11 mm
答え
δmax = 11.11 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 235.7 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11.11) = 1.091 × 10⁸ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.091 × 10⁸/100)1/3 = 235.7 mm
答え
hreq = 235.7 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 3.876 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3.876 kN
答え
Pcr = 3.876 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 35.25 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/20 = 140
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
答え
σcr = 35.25 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials