軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 120 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 30 kWN = 750 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに、A から x = 4 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 20 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mM0 = 20 kN·m 時計回り、位置 4 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 60 kN 位置 1.5 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。
bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 160 mmM = 30 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 40 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 400 mm、肉厚 10 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 3 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 400 mmt = 10 mmp = 3 MPaα = 30°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 2 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 35 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 35 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 10.91 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 120·1000/314.2 = 382 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 382/70000 = 0.005457 = 5457 µε
伸び
δ = ε·L = 0.005457·2000 mm = 10.91 mm
答え
δ = 10.91 mm
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 455.5 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0005) = 0.0005 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0005·9.111 × 10⁸ = 455531 N = 455.5 kN
答え
Pmax = 455.5 kN
3.軸のねじり
答え: φ = 10.39 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·79522) = 0.1814 rad
φ = 0.1814·180/π = 10.39°
答え
φ = 10.39°
4.軸のねじり
答え: τmax = 9.607 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 381972·30/1.193 × 10⁶ = 9.607 MPa
答え
τmax = 9.607 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 4 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 20/5 = 4 kN (上向き)
RA = −RB = −4 kN (下向き)
偶力のすぐ右で切断
左側部分には RA と偶力が含まれます。
Mx = RA·a + M0 = −4·4 + 20 = 4 kN·m
答え
Mx = 4 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 27.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 10·4·2
RB = 170/4 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 42.5 = 57.5 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 57.5·0.5 − 10·0.5·0.25 = 27.5 kN·m
答え
Mx = 27.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 13.32 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 140 + 25/2 = 152.5 mm
ウェブ: Aw = 14·140 = 1960 mm², yw = 140/2 = 70 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·152.5 + 1960·70)/7460 = 130.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 220·25³/12 + 5500·(152.5 − 130.8)² = 2.871 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 14·140³/12 + 1960·(70 − 130.8)² = 1.045 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.871 × 10⁶ + 1.045 × 10⁷ = 1.332 × 10⁷ mm⁴ = 13.32 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 13.32 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ下端 = 314.7 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 140·30 = 4200 mm², yf = 160 + 30/2 = 175 mm
ウェブ: Aw = 10·160 = 1600 mm², yw = 160/2 = 80 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·175 + 1600·80)/5800 = 148.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 140·30³/12 + 4200·(175 − 148.8)² = 3.2 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·160³/12 + 1600·(80 − 148.8)² = 1.099 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.2 × 10⁶ + 1.099 × 10⁷ = 1.418 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
下端は軸から ȳ の位置にあります。
y = 148.8 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·148.8/1.418 × 10⁷ = 314.7 MPa
答え
σ下端 = 314.7 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 52.02 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·20, 40 − 50) = 104°
要素上の角度
θp = 52.02°
答え
θp = 52.02°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 52.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 3·200/10 = 60 MPa
σa = pr/(2t) = 30 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 30·sin²30° + 60·cos²30° = 52.5 MPa
答え
σn = 52.5 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 31.11 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 2000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 2000·4000³/(3·1.68 × 10¹³) = 2.54 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 28.57 mm
足し合わせる
δ = 2.54 + 28.57 = 31.11 mm
答え
δ = 31.11 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 7.5 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·4000⁴/(384·200000·11.11) = 7.5 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7.5 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 7.5 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 673.8 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/1250² = 673765 N = 673.8 kN
答え
Pcr = 673.8 kN
14.柱の座屈
答え: d = 79.03 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·35000 = 105000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 79.03 mm
答え
d = 79.03 mm
確認：細長比 KL/r は 303.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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