軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 115 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 20 mm の中実試験片をトルク 75 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 0.85° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 75 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0.85°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 75 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 75 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 6 m12 kN/m, 4–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 7 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 10 kN 位置 5 mw = 3 kN/m（0 から 8 m まで）x = 7 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 170 mm、厚さ 24 mm、全高は 380 mm、ウェブの厚さは 14 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 100 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 170 mmH = 380 mmtf = 24 mmtw = 14 mmM = 100 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −10 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 60 MPaσy = −50 MPaτxy = −40 MPaσY = 300 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 16 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 35 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 35 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 14526 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113.1 = 1017 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1017/70000 = 0.01453 = 14526 µε
答え
ε = 14526 µε
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 7.965 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 120.3 MPa
σ2 = 751.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 120.3·1500/117000 = 1.542 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 751.6·1000/117000 = 6.424 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.965 mm
答え
δ = 7.965 mm
3.軸のねじり
答え: G = 80.46 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0.85·π/180 = 0.01484 rad
横弾性係数
T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·250/(15708·0.01484) = 80461 MPa
G = 80.46 GPa
答え
G = 80.46 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: τmax = 75 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 716197·20/190984 = 75 MPa
答え
τmax = 75 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 6 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 52.5 kN, R2 = 64.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 105, MC = 210, MD = 291 kN·m, ME = 234, MF = 129, MG = 0
答え
点 D: MD = 291 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 16.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·5 + 3·8·4
RB = 146/8 = 18.25 kN
ΣFy = 0: RA = 34 − 18.25 = 15.75 kN
x = 7 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15.75·7 − 10·(7 − 5) − 3·7·3.5 = 16.75 kN·m
答え
Mx = 16.75 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 14.89 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 160 + 25/2 = 172.5 mm
ウェブ: Aw = 12·160 = 1920 mm², yw = 160/2 = 80 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3500·172.5 + 1920·80)/5420 = 139.7 mm
平行軸の定理
フランジ: 140·25³/12 + 3500·(172.5 − 139.7)² = 3.94 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 12·160³/12 + 1920·(80 − 139.7)² = 1.095 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.94 × 10⁶ + 1.095 × 10⁷ = 1.489 × 10⁷ mm⁴ = 14.89 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 14.89 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 55.03 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 380 − 2·24 = 332 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·380³ − 156·332³)/12
Ix = 3.016 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 190 − 24 = 166 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·166/3.016 × 10⁸ = 55.03 MPa
答え
σj = 55.03 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 88.46 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−10 − 120)/2)² + 60²) = 88.46 MPa
答え
τmax = 88.46 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.545
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 5 MPa, R = 68.01 MPa
σ1 = 73.01 MPa, σ2 = −63.01 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(73.01² − 73.01·(−63.01) + (−63.01)²) = 117.9 MPa
n = 300/117.9 = 2.545
答え
n = 2.545
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δ = 71.11 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 16000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 16000·4000³/(3·8.4 × 10¹²) = 40.63 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 30.48 mm
足し合わせる
δ = 40.63 + 30.48 = 71.11 mm
答え
δ = 71.11 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 162.1 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 5000/300 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·16.67) = 4.439 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·4.439 × 10⁷/125)1/3 = 162.1 mm
答え
hreq = 162.1 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 108.1 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1400² = 108141 N = 108.1 kN
答え
Pcr = 108.1 kN
14.柱の座屈
答え: d = 65.65 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 65.65 mm
答え
d = 65.65 mm
確認：細長比 KL/r は 182.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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