軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 95 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 30 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
黄銅製の中実軸が 1450 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 80 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.25° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.25°/mG = 39 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 7.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 12 kN/m（0 から 8 m まで）x = 7.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 45 kN 位置 1.5 mw = 3 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 90 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 150 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 45 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 150 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −50 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = −50 MPaσy = −70 MPaτxy = 50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 45° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 70 MPaσy = 50 MPaτxy = −40 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 2 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 4 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 120 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 120 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 12000 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 840/70000 = 0.012 = 12000 µε
答え
ε = 12000 µε
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.617 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 31.18 MPa
σ2 = 265.3 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 31.18·2000/200000 = 0.3118 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265.3·2000/100000 = 5.305 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.617 mm
答え
δ = 5.617 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 1.167 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(80000·613592) = 0.02037 rad
φ = 0.02037·180/π = 1.167°
答え
φ = 1.167°
4.軸のねじり
答え: d = 52.99 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m
強度から決まる直径
T = 131.7 N·m = 131714 N·mm
dτ = ∛(16·131714/(π·80)) = 20.32 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·131714/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 52.99 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(20.32, 52.99) = 52.99 mm
答え
d = 52.99 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −42 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·8·4
RB = 384/8 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 96 − 48 = 48 kN
x = 7.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 48 − 12·7.5 = −42 kN
答え
Vx = −42 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 60.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1.5 + 3·6·3
RB = 121.5/6 = 20.25 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 20.25 = 42.75 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 42.75·1.5 − 3·1.5·0.75 = 60.75 kN·m
答え
Mx = 60.75 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 217.1 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (30000·150 − 1963·90)/(30000 − 1963) = 154.2 mm
ȳ まわりの全体の板
100·300³/12 + 30000·−4.202² = 225.5 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·50⁴/64 + 1963·−64.2² = 8.4 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 217.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 217.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 41.61 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (22500·75 − 600·45)/(22500 − 600) = 75.82 mm
ȳ まわりの全体の板
150·150³/12 + 22500·−0.8219² = 42.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·20³/12 + 600·−30.82² = 0.59 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 41.61 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 41.61 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 55.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −60 MPa, R = √(10² + 50²) = 50.99 MPa
σ1 = −9.01 MPa, σ2 = −111 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(102, 9.01, 111)/2 = 55.5 MPa
答え
τabs = 55.5 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 10 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −10·−1 + −40·0 = 10 MPa
答え
τθ = 10 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 8.893 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 2000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa³/(3EI) = 2000·1500³/(3·2.53 × 10¹¹) = 8.893 mm
答え
δP = 8.893 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 30 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22.5 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = wL²/2 − RB·L = 120 − 90 = 30 kN·m
答え
MA = 30 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 2.412 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2.412 kN
答え
Pcr = 2.412 kN
14.柱の座屈
答え: d = 46.9 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·120000 = 300000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 46.9 mm
答え
d = 46.9 mm
確認：細長比 KL/r は 106.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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