材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 25 mm鋼2 mP = 45 kN

鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 45 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
30 kN12500 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 750 N·md = 50 mmL = 1.2 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 20 mmT0​ = 750 N·mACBa = 0.5 mb = 2 m

直径 20 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.5 m、B から 2 m の C にトルク 750 N·m が作用する。 壁 A における反力トルク TA を求めよ。

d = 20 mmT0 = 750 N·ma = 0.5 mb = 2 m
TA = N·m
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 10 kN/mAB断面5 m5 m

支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 10 kN/m（0 から 10 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
5 kN/m35 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 12 m35 kN @ 6 m5 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm240 mm168 mmØ40xIx​ = ?

120 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 168 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mm穴の中心: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm300 mm195 mm30 × 20xIx​ = ?

100 mm × 300 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 195 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 300 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 30τxy​ = 50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −60 MPaσy = 30 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 100σy​ = 10τxy​ = 50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 100 MPaσy = 10 MPaτxy = 50 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 2 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 6 kNABδ3.5 m2.5 m

単純ばりの支点 B から b = 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 6 kNb = 2.5 mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 95 kNL = 1.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 95 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 458.4 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 45·1000/490.9 = 91.67 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 91.67/200000 = 0.0004584 = 458.4 µε

答え

ε = 458.4 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σ2 = 14.15 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·706.9/500 = 282743 N/mm
k₂ = 100000·706.9/500 = 141372 N/mm

区間 2 の分担

F2 = 30000·141372/424115 = 10000 N

応力

σ2 = 10000/706.9 = 14.15 MPa （圧縮）

答え

σ2 = 14.15 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 2.155 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(39000·613592) = 0.03761 rad
φ = 0.03761·180/π = 2.155°

答え

φ = 2.155°
4.軸のねじり

答え: TA = 600 N·m

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·2/2.5 = 600 N·m
TB = 750·0.5/2.5 = 150 N·m

答え

TA = 600 N·m
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 125 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·10·5
RB = 500/10 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 50 = 50 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 50RB​ = 50断面5 m5 m

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 50·5 − 10·5·2.5 = 125 kN·m

答え

Mx = 125 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 32 kN, R2 = 88 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 54, MC = 88, MD = 102 kN·m, ME = 26, MF = −70, MG = 0

答え

点 D: MD = 102 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 135.1 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (28800·120 − 1257·168)/(28800 − 1257) = 117.8 mm

ȳ まわりの全体の板

120·240³/12 + 28800·2.19² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·50.19² = 3.291 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 135.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 135.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 223.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·150 − 600·195)/(30000 − 600) = 149.1 mm

ȳ まわりの全体の板

100·300³/12 + 30000·0.9184² = 225 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·20³/12 + 600·45.92² = 1.285 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 223.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 223.7 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 67.27 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−60 − 30)/2)² + 50²) = 67.27 MPa

答え

τmax = 67.27 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 117.4 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 55 + 45·0.342 + 50·0.9397 = 117.4 MPa

答え

σθ = 117.4 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 3.538 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 3.538 mm

答え

δmax = 3.538 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 28.16 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 6000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 28.16 mm

答え

δmax = 28.16 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 8.721 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN

答え

Pcr = 8.721 kN
14.柱の座屈

答え: d = 71.73 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 71.73 mm

答え

d = 71.73 mm

確認：細長比 KL/r は 167.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials