軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 70 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 750 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 750 N·mdi/do = 0.8τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.2 m、B から 0.5 m の C にトルク 1500 N·m が作用する。 壁 A における反力トルク TA を求めよ。
d = 40 mmT0 = 1500 N·ma = 1.2 mb = 0.5 m
TA = N·m
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 4 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 40 kN 位置 1.5 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 280 mm の底板と、全高 70 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 12 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
b = 280 mmh = 70 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 150 mm の板に、幅 30 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 60 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 30 × 40 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −50 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = −50 MPaσy = −40 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 120 MPaσy = −40 MPaτxy = 10 MPaσY = 350 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 28 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 85 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 142.4 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1.389 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/3.511 × 10⁻⁶ = 142407 N = 142.4 kN
答え
P = 142.4 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.421 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 72.76 MPa
σ2 = 348.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 72.76·1500/117000 = 0.9328 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 348.2·500/117000 = 1.488 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.421 mm
答え
δ = 2.421 mm
3.軸のねじり
答え: do = 43.24 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·80·0.5904)) = 43.24 mm
di = 0.8·43.24 = 34.6 mm
答え
do = 43.24 mm
中実軸なら d = 36.28 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: TA = 441.2 N·m
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·0.5/1.7 = 441.2 N·m
TB = 1500·1.2/1.7 = 1059 N·m
答え
TA = 441.2 N·m
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −6 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·5·2.5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
x = 4 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 10 − 4·4 = −6 kN
答え
Vx = −6 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 47.25 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·1.5 + 2·5·2.5
RB = 85/5 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 17 = 33 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 33·1.5 − 2·1.5·0.75 = 47.25 kN·m
答え
Mx = 47.25 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 1.636 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 280·12 = 3360 mm², y1 = 6 mm
2 本の脚: A2 = 2·12·58 = 1392 mm², y2 = 12 + 58/2 = 41 mm
図心
ȳ = (3360·6 + 1392·41)/4752 = 16.25 mm
平行軸の定理
基剤: 280·12³/12 + 3360·(6 − 16.25)² = 393504 mm⁴
2 本の脚: 2·12·58³/12 + 1392·(41 − 16.25)² = 1.243 × 10⁶ mm⁴
Ix = 393504 + 1.243 × 10⁶
Ix = 1.636 × 10⁶ mm⁴ = 1.636 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 1.636 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 33.3 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (18000·75 − 1200·60)/(18000 − 1200) = 76.07 mm
ȳ まわりの全体の板
120·150³/12 + 18000·−1.071² = 33.77 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·40³/12 + 1200·−16.07² = 0.4699 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 33.3 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 33.3 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 50.25 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −45 MPa, R = √((−5)² + (−50)²) = 50.25 MPa
σ1 = 5.249 MPa, σ2 = −95.25 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100.5, 5.249, 95.25)/2 = 50.25 MPa
答え
τabs = 50.25 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.409
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 40 MPa, R = 80.62 MPa
σ1 = 120.6 MPa, σ2 = −40.62 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(120.6² − 120.6·(−40.62) + (−40.62)²) = 145.3 MPa
n = 350/145.3 = 2.409
答え
n = 2.409
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δP = 1.111 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 28000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·1000²·2000²/(3·1.12 × 10¹³·3000) = 1.111 mm
答え
δP = 1.111 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 145.9 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·15) = 3.236 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.236 × 10⁷/125)1/3 = 145.9 mm
答え
hreq = 145.9 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 2.047 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/3000² = 2047 N = 2.047 kN
答え
Pcr = 2.047 kN
14.柱の座屈
答え: d = 86.05 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 86.05 mm
答え
d = 86.05 mm
確認：細長比 KL/r は 232.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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