材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 25 mm鋼0.5 mP = 45 kN

軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 45 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø40110 GPaØ120/50600 mm

鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
d1​ = 60 mmd2​ = 40 mmT = 2000 N·mABC2.5 m1.2 m

黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 60 mm、長さ 2.5 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 1.2 m である。自由端 C にトルク 2000 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

T = 2000 N·md1 = 60 mm, L1 = 2.5 md2 = 40 mm, L2 = 1.2 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
d = 25 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 1000 N·mABC1.2 m0.8 m

直径 25 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 1.2 m の B にトルク 1500 N·m が作用し、さらに 0.8 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 1000 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。

d = 25 mmTB = 1500 N·mTC = 1000 N·mAB = 1.2 mBC = 0.8 mG = 39 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
8 kN/m10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

10 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mP = 25 kNAB3 m5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mP = 25 kN 位置 3 mw = 2 kN/m（0 から 8 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
1003001214x寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 100 mm、厚さ 12 mm、全高は 300 mm、ウェブの厚さは 14 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。

B = 100 mmH = 300 mmtf = 12 mmtw = 14 mm
Sx = × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2304602010xM = 60 kN·m寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 230 mm、厚さ 20 mm、全高は 460 mm、ウェブの厚さは 10 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 60 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。

B = 230 mmH = 460 mmtf = 20 mmtw = 10 mmM = 60 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 160σy​ = 20τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 160 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 160 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 20 mm の中実軸が軸引張力 10 kNとトルク 500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 20 mmF = 10 kNT = 500 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 3 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 10 kN/mAB5 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 5 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 125 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 125 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.2292 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 45·1000/490.9 = 91.67 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 91.67/200000 = 0.0004584 = 458.4 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0004584·500 mm = 0.2292 mm

答え

δ = 0.2292 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 697.9 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1.279 × 10⁹ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0005455) = 0.0005455 (青銅)

最大荷重

Pmax = 0.0005455·1.279 × 10⁹ = 697862 N = 697.9 kN

答え

Pmax = 697.9 kN
3.軸のねじり

答え: τmax = 159.2 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

各区間の応力

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
τAB = 16·2 × 10⁶/(π·60³) = 47.16 MPa
τBC = 16·2 × 10⁶/(π·40³) = 159.2 MPa

答え

τmax = 159.2 MPa
4.軸のねじり

答え: φC = 7.662 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

内部トルク

TC の向きを正とする。

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 1500 = −500 N·m

各区間のねじれ角

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = −500000·1200/(39000·38350) = −0.4012 rad
φBC = 1 × 10⁶·800/(39000·38350) = 0.5349 rad

端 C のねじれ角

φC = −0.4012 + 0.5349 = 0.1337 rad → |φC| = 7.662°

答え

φC = 7.662°
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 29 kN, R2 = 29 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 25, MC = 42, MD = 51 kN·m, ME = 42, MF = 25, MG = 0

答え

点 D: MD = 51 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 61.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 2·8·4
RB = 139/8 = 17.38 kN
ΣFy = 0: RA = 41 − 17.38 = 23.63 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(3⁻) = RA − w·3 = 17.63 kN
V(3⁺) = 17.63 − 25 = −7.375 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 23.63·3 − 2·3²/2 = 61.88 kN·m

答え

Mmax = 61.88 kN·m

それは A から x = 3 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: Sx = 495.5 × 10³ mm³

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 300 − 2·12 = 276 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·300³ − 86·276³)/12
Ix = 7.432 × 10⁷ mm⁴

断面係数

c = H/2 = 150 mm
Sx = I/c = 7.432 × 10⁷/150
Sx = 495492 mm³ = 495.5 × 10³ mm³

答え

Sx = 495.5 × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメント

答え: σmax = 27.2 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 460 − 2·20 = 420 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·460³ − 220·420³)/12
Ix = 5.073 × 10⁸ mm⁴

曲げ応力

y = 230 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·230/5.073 × 10⁸ = 27.2 MPa

答え

σmax = 27.2 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 76.16 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((160 − 20)/2)² + −30²) = 76.16 MPa

答え

τmax = 76.16 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 334.6 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 10000/(π·20²/4) = 10000/314.2 = 31.83 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318.3 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 15.92 MPa
R = √(15.92² + 318.3²) = 318.7 MPa
σ1 = C + R = 334.6 MPa
σ2 = C − R = −302.8 MPa

答え

σ1 = 334.6 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 33.75 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 33.75 mm

答え

δ = 33.75 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 18.75 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·5/8 = 18.75 kN

答え

RB = 18.75 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 67.29 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67.29 kN

答え

Pcr = 67.29 kN
14.柱の座屈

答え: d = 67.01 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 67.01 mm

答え

d = 67.01 mm

確認：細長比 KL/r は 149.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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