材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 16 mm鋼2 mP = 45 kN

鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 45 kNd = 16 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 25 mm鋼1 mØ 12 mm黄銅2 mP = 85 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 85 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
T = 250 N·md = 25 mmL = 1.5 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 250 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
do​ = ?10 kW, 1450 rpm

中空軸が 1450 rpm で 10 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

P = 10 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 40 kNP2​ = 60 kNABC2 m6 m1 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 9 mP1 = 40 kN 位置 2 mP2 = 60 kN 位置 9 m支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 25 kNAB断面2 m2 m

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 25 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm300 mm180 mmØ60xIx​ = ?

120 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 180 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 300 mmd = 60 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
16030024290168x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 160 × 24 mm、高さ 290 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 300 × 16 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 160 × 24 mmウェブ: 8 × 290 mm下フランジ: 300 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σy​ = 30MPaτxy​ = ?

ある点で σₓ = 0 MPa、σᵧ = 30 MPa である。最大主応力が 90 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σx = 0 MPaσy = 30 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 50 mm の中実軸が軸引張力 120 kNとトルク 1500 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 50 mmF = 120 kNT = 1500 N·m
τmax = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 27 kNABδ2 m6 m

単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 27 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 1 kN/mABδ3.5 m

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 1 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 5 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 65 kNL = 1 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 65 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 1119 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 45·1000/201.1 = 223.8 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 223.8/200000 = 0.001119 = 1119 µε

答え

ε = 1119 µε
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 15.9 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 173.2 MPa
σ2 = 751.6 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 173.2·1000/200000 = 0.8658 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 751.6·2000/100000 = 15.03 mm
δ = δ1 + δ2 = 15.9 mm

答え

δ = 15.9 mm
3.軸のねじり

答え: φ = 7.003 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·38350) = 0.1222 rad
φ = 0.1222·180/π = 7.003°

答え

φ = 7.003°
4.軸のねじり

答え: do = 16.48 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m

許容応力からの外径

T = 65.86 N·m = 65857 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·65857/(π·80·0.9375)) = 16.48 mm
di = 0.5·16.48 = 8.238 mm

答え

do = 16.48 mm

中実軸なら d = 16.12 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 45 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·8 = 40·2 + 60·9
RB = 620/8 = 77.5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 77.5 = 22.5 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·2 = 22.5·2 = 45 kN·m

答え

Mx = 45 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 45 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·2 + 10·4·2
RB = 130/4 = 32.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32.5 = 32.5 kN
w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​ = 32.5RB​ = 32.5断面2 m2 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 32.5·2 − 10·2·1 = 45 kN·m

答え

Mx = 45 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 266.6 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·150 − 2827·180)/(36000 − 2827) = 147.4 mm

ȳ まわりの全体の板

120·300³/12 + 36000·2.557² = 270.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·32.56² = 3.633 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 266.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 266.6 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 222 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3840 mm², y = 318 mm
ウェブ: A = 2320 mm², y = 161 mm
下フランジ: A = 4800 mm², y = 8 mm

図心

ȳ = (3840·318 + 2320·161 + 4800·8)/10960 = 149 mm

平行軸の定理

上フランジ: 160·24³/12 + 3840·169² = 1.099 × 10⁸ mm⁴
ウェブ: 8·290³/12 + 2320·12² = 1.659 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 300·16³/12 + 4800·141² = 9.553 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.099 × 10⁸ + 1.659 × 10⁷ + 9.553 × 10⁷
Ix = 2.22 × 10⁸ mm⁴ = 222 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 222 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τxy = 73.48 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (0 + 30)/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 90 − 15 = 75 MPa
στxyCσ1​σ2​

せん断応力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 15²) = 73.48 MPa

答え

τxy = 73.48 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 68.33 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 120000/(π·50²/4) = 120000/1963 = 61.12 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61.12 MPa
στxyCτmax​

モールの応力円

C = σ/2 = 30.56 MPa
R = √(30.56² + 61.12²) = 68.33 MPa

答え

τmax = 68.33 MPa
11.はりのたわみ

答え: δP = 40.6 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 27000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 27000·2000²·6000²/(3·3.99 × 10¹²·8000) = 40.6 mm

答え

δP = 40.6 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 143 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·9.722) = 1.827 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.827 × 10⁷/75)1/3 = 143 mm

答え

hreq = 143 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 96.89 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN

答え

Pcr = 96.89 kN
14.柱の座屈

答え: d = 37.66 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 37.66 mm

答え

d = 37.66 mm

確認：細長比 KL/r は 106.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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