材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
200 kNØ30110 GPaØ80/60400 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 200 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm黄銅2 mØ 12 mm鋼1 mP = 50 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 50 kN区間 1：Ø35 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 250 N·m

中空軸がトルク 250 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 250 N·mdi/do = 0.6τallow = 50 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
d = 30 mmT0​ = 400 N·mACBa = 2 mb = 1.2 m

直径 30 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 2 m、B から 1.2 m の C にトルク 400 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 30 mmT0 = 400 N·ma = 2 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
10 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mP = 25 kNAB3 m5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8 mP = 25 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（0 から 8 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm300 mm90 mmØ60xIx​ = ?

200 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 90 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1602524010xM = 30 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 240 mmM = 30 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 20σy​ = 100τxy​ = −60MPa

ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 20 MPaσy = 100 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −50τxy​ = −40MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −50 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 420 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = −50 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaσY = 420 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 4 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 1 kN/mABδ3.5 m

幅 100 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 1 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 100 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 6 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.2087 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·2199 = 3.833 × 10⁸ N

縮み

δ = 200000·400/3.833 × 10⁸ = 0.2087 mm

答え

δ = 0.2087 mm
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 3.25 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 51.97 MPa
σ2 = 442.1 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 51.97·2000/100000 = 1.039 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 442.1·1000/200000 = 2.21 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.25 mm

答え

δ = 3.25 mm
3.軸のねじり

答え: do = 30.81 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·50·0.8704)) = 30.81 mm
di = 0.6·30.81 = 18.49 mm

答え

do = 30.81 mm

中実軸なら d = 29.42 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: τmax = 47.16 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1.2/3.2 = 150 N·m
TB = 400·2/3.2 = 250 N·m

最大せん断応力

2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。

τmax = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa

答え

τmax = 47.16 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 52.5 kN, R2 = 52.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 47.5, MC = 85, MD = 112.5 kN·m, ME = 85, MF = 47.5, MG = 0

答え

点 D: MD = 112.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 69.38 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 3·8·4
RB = 171/8 = 21.38 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 21.38 = 27.63 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(3⁻) = RA − w·3 = 18.63 kN
V(3⁺) = 18.63 − 25 = −6.375 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 27.63·3 − 3·3²/2 = 69.38 kN·m

答え

Mmax = 69.38 kN·m

それは A から x = 3 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 438.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (60000·150 − 2827·90)/(60000 − 2827) = 153 mm

ȳ まわりの全体の板

200·300³/12 + 60000·−2.967² = 450.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−62.97² = 11.85 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 438.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 438.7 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 49.01 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252.5 mm
ウェブ: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·252.5 + 2400·120)/6400 = 202.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 160·25³/12 + 4000·(252.5 − 202.8)² = 1.008 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·240³/12 + 2400·(120 − 202.8)² = 2.798 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.008 × 10⁷ + 2.798 × 10⁷ = 3.806 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 265 − 202.8 = 62.19 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·62.19/3.806 × 10⁷ = 49.01 MPa

答え

σ上端 = 49.01 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = 73.15 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = −60/72.11 = −0.8321, sin 2θs = −(−40)/72.11 = 0.5547
2θs = atan2(40, −60) = 146.3°

要素上の角度

θs = 73.15°
確認: θs − θp = 73.15 − (−61.85) = 135°

答え

θs = 73.15°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 4.452

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −25 MPa, R = 47.17 MPa
σ1 = 22.17 MPa, σ2 = −72.17 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 94.34 MPa
n = 420/94.34 = 4.452

答え

n = 4.452

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δmax = 4.464 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 4.464 mm

答え

δmax = 4.464 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 115 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·14) = 1.269 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.269 × 10⁷/100)1/3 = 115 mm

答え

hreq = 115 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 27.47 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·2000 = 4000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27.47 kN

答え

Pcr = 27.47 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 8.567 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/6.25 = 480

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

答え

σcr = 8.567 MPa

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