軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 75 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 80 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1 m、B から 1.5 m の C にトルク 2000 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。
d = 60 mmT0 = 2000 N·ma = 1 mb = 1.5 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 1.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 30 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
溶接 I 形断面は、上フランジ 150 × 16 mm、高さ 370 mm・厚さ 10 mm のウェブ、下フランジ 180 × 22 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
上フランジ: 150 × 16 mmウェブ: 10 × 370 mm下フランジ: 180 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 20 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 20 MPaσy = −20 MPaτxy = 60 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −70 MPaσy = −10 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 24 kNa = 3.5 mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 24 kNw = 5 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 115 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 1061 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706.9 = 106.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 106.1/100000 = 0.001061 = 1061 µε
答え
ε = 1061 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 15.49 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 80000·395841/723090 = 43794 N
応力
σ2 = 43794/2827 = 15.49 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 15.49 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 3.464 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·79522) = 0.06046 rad
φ = 0.06046·180/π = 3.464°
答え
φ = 3.464°
4.軸のねじり
答え: φC = 2.078 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·1.5/2.5 = 1200 N·m
TB = 2000·1/2.5 = 800 N·m
C の回転角
区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 1.2 × 10⁶·1000/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.03627 rad = 2.078°
答え
φC = 2.078°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = 15 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 30 − 10·1.5 = 15 kN
答え
Vx = 15 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 27 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1 + 3·5·2.5
RB = 67.5/5 = 13.5 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 13.5 = 31.5 kN
x = 2 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 31.5·2 − 30·(2 − 1) − 3·2·1 = 27 kN·m
答え
Mx = 27 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 26.6 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 240 + 15/2 = 247.5 mm
ウェブ: Aw = 8·240 = 1920 mm², yw = 240/2 = 120 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·247.5 + 1920·120)/4320 = 190.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·15³/12 + 2400·(247.5 − 190.8)² = 7.752 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·240³/12 + 1920·(120 − 190.8)² = 1.885 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.752 × 10⁶ + 1.885 × 10⁷ = 2.66 × 10⁷ mm⁴ = 26.6 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 26.6 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 274.2 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
3 つの長方形に分割
y はすべて下端から測ります。
上フランジ: A = 2400 mm², y = 400 mm
ウェブ: A = 3700 mm², y = 207 mm
下フランジ: A = 3960 mm², y = 11 mm
図心
ȳ = (2400·400 + 3700·207 + 3960·11)/10060 = 175.9 mm
平行軸の定理
上フランジ: 150·16³/12 + 2400·224.1² = 1.206 × 10⁸ mm⁴
ウェブ: 10·370³/12 + 3700·31.11² = 4.579 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 180·22³/12 + 3960·164.9² = 1.078 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.206 × 10⁸ + 4.579 × 10⁷ + 1.078 × 10⁸
Ix = 2.742 × 10⁸ mm⁴ = 274.2 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 274.2 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −9.217 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 60/63.25 = 0.9487, sin 2θs = −20/63.25 = −0.3162
2θs = atan2(−20, 60) = −18.43°
要素上の角度
θs = −9.217°
確認: θs − θp = −9.217 − 35.78 = −45°
答え
θs = −9.217°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −69.05 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −40 + −30·0.342 + −20·0.9397 = −69.05 MPa
答え
σθ = −69.05 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 47.73 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 24000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·3500²·1500²/(3·9.24 × 10¹¹·5000) = 47.73 mm
答え
δP = 47.73 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 11.21 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 24000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 24000·2500³/(48·9.24 × 10¹¹) = 8.455 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 2.752 mm
足し合わせる
δmax = 8.455 + 2.752 = 11.21 mm
答え
δmax = 11.21 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 3.454 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·6000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3.454 kN
答え
Pcr = 3.454 kN
14.柱の座屈
答え: d = 72.69 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·115000 = 345000 N
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 72.69 mm
答え
d = 72.69 mm
確認：細長比 KL/r は 154.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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