軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 50 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 55 kN区間 1：Ø30 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 2000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 2000 N·mdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 1.5 m の B にトルク 400 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 500 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmTB = 400 N·mTC = 500 N·mAB = 1.5 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに、A から x = 2.5 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 20 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mM0 = 20 kN·m 時計回り、位置 2.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 10 kN 位置 1 mw = 12 kN/m（0 から 8 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。
bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 120 mmM = 25 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −10 MPaσy = 70 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −20 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = −20 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 10 kNa = 0.5 mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 50 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 50 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 110 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 110 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.02709 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·5890 = 5.537 × 10⁸ N
縮み
δ = 50000·300/5.537 × 10⁸ = 0.02709 mm
答え
δ = 0.02709 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 486.3 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 77.81 MPa
σ2 = 486.3 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 486.3 MPa
答え
σmax = 486.3 MPa
3.軸のねじり
答え: do = 57.11 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.6836)) = 57.11 mm
di = 0.75·57.11 = 42.83 mm
答え
do = 57.11 mm
中実軸なら d = 50.31 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: τmax = 169.8 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 400 = 900 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 900 N·m
τmax = 16·900000/(π·30³) = 169.8 MPa
答え
τmax = 169.8 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 7.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 20/4 = 5 kN (上向き)
RA = −RB = −5 kN (下向き)
偶力のすぐ右で切断
左側部分には RA と偶力が含まれます。
Mx = RA·a + M0 = −5·2.5 + 20 = 7.5 kN·m
答え
Mx = 7.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 66.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·1 + 12·8·4
RB = 394/8 = 49.25 kN
ΣFy = 0: RA = 106 − 49.25 = 56.75 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 56.75·1.5 − 10·(1.5 − 1) − 12·1.5·0.75 = 66.63 kN·m
答え
Mx = 66.63 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 13.87 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 140·10 = 1400 mm², yf = 160 + 10/2 = 165 mm
ウェブ: Aw = 20·160 = 3200 mm², yw = 160/2 = 80 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1400·165 + 3200·80)/4600 = 105.9 mm
平行軸の定理
フランジ: 140·10³/12 + 1400·(165 − 105.9)² = 4.907 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 20·160³/12 + 3200·(80 − 105.9)² = 8.968 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4.907 × 10⁶ + 8.968 × 10⁶ = 1.387 × 10⁷ mm⁴ = 13.87 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 13.87 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ下端 = 292 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 120 + 25/2 = 132.5 mm
ウェブ: Aw = 16·120 = 1920 mm², yw = 120/2 = 60 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·132.5 + 1920·60)/5920 = 109 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·25³/12 + 4000·(132.5 − 109)² = 2.42 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·120³/12 + 1920·(60 − 109)² = 6.911 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.42 × 10⁶ + 6.911 × 10⁶ = 9.331 × 10⁶ mm⁴
曲げ応力
下端は軸から ȳ の位置にあります。
y = 109 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·109/9.331 × 10⁶ = 292 MPa
答え
σ下端 = 292 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 64.03 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−10 − 70)/2)² + −50²) = 64.03 MPa
答え
τmax = 64.03 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 96.95 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 25 MPa, R = 54.08 MPa
σ1 = 79.08 MPa, σ2 = −29.08 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(79.08² − 79.08·(−29.08) + (−29.08)²) = 96.95 MPa
答え
σvM = 96.95 MPa
11.はりのたわみ
答え: δB = 2.728 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 10000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 0.496 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001488 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.728 mm
答え
δB = 2.728 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 163.7 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·9.722) = 1.827 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.827 × 10⁷/50)1/3 = 163.7 mm
答え
hreq = 163.7 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 13.89 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2500 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13.89 kN
答え
Pcr = 13.89 kN
14.柱の座屈
答え: d = 84.12 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 84.12 mm
答え
d = 84.12 mm
確認：細長比 KL/r は 199.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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