軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 110 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 110 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 60 mm、長さ 1.5 m、区間 BC は直径 25 mm、長さ 1.5 m である。自由端 C にトルク 750 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 750 N·md1 = 60 mm, L1 = 1.5 md2 = 25 mm, L2 = 1.5 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 30 kWN = 1450 rpmdo = 60 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 6 mP1 = 20 kN 位置 1 mP2 = 65 kN 位置 4.5 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 30 kN 位置 1.5 mw = 8 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 72 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 40 MPa、圧縮で 120 MPa である。 はりが負担できる最大の負の曲げモーメント Mallow を求めよ（大きさで答えよ）。
bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 260 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −30 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −30 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 50 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 420 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 50 MPaσy = −40 MPaτxy = 30 MPaσY = 420 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 40 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.863 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/113.1 = 972.6 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 972.6/100000 = 0.009726 = 9726 µε
伸び
δ = ε·L = 0.009726·500 mm = 4.863 mm
答え
δ = 4.863 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 350.1 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 87.54 MPa
σ2 = 350.1 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 350.1 MPa
答え
σmax = 350.1 MPa
3.軸のねじり
答え: τmax = 244.5 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τAB = 16·750000/(π·60³) = 17.68 MPa
τBC = 16·750000/(π·25³) = 244.5 MPa
答え
τmax = 244.5 MPa
4.軸のねじり
答え: τmax = 4.969 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 197572·30/1.193 × 10⁶ = 4.969 MPa
答え
τmax = 4.969 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 78.13 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 65·4.5
RB = 312.5/6 = 52.08 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 52.08 = 32.92 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·1 = 32.92·1 = 32.92 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1.5 = 52.08·1.5 = 78.13 kN·m
最大値
Mmax = 78.13 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 78.13 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 12.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1.5 + 8·4·2
RB = 109/4 = 27.25 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 27.25 = 34.75 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 34.75·3.5 − 30·(3.5 − 1.5) − 8·3.5·1.75 = 12.63 kN·m
答え
Mx = 12.63 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·120 − 2827·72)/(24000 − 2827) = 126.4 mm
ȳ まわりの全体の板
100·240³/12 + 24000·−6.41² = 116.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·60⁴/64 + 2827·−54.41² = 9.007 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 43.82 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (6000·272.5 + 5200·130)/11200 = 206.3 mm
上縁: c = 285 − 206.3 = 78.66 mm
断面二次モーメント
I = 240·25³/12 + 6000·66.16² + 20·260³/12 + 5200·76.34² = 8.617 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
負の曲げ：上側は引張、下側は圧縮です。
上縁: M = 40·8.617 × 10⁷/78.66 = 43.82 kN·m
下縁: M = 120·8.617 × 10⁷/206.3 = 50.12 kN·m
決定値
Mallow = min = 43.82 kN·m (上縁)
答え
Mallow = 43.82 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 42.72 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−30 − −60)/2)² + 40²) = 42.72 MPa
答え
τmax = 42.72 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 3.883
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 5 MPa, R = 54.08 MPa
σ1 = 59.08 MPa, σ2 = −49.08 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 108.2 MPa
n = 420/108.2 = 3.883
答え
n = 3.883
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δmax = 53.83 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 53.83 mm
答え
δmax = 53.83 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 20.25 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·200000·16.67) = 2.025 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 20.25 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 20.25 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 52.64 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1000² = 52638 N = 52.64 kN
答え
Pcr = 52.64 kN
14.柱の座屈
答え: d = 122.7 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 122.7 mm
答え
d = 122.7 mm
確認：細長比 KL/r は 260.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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