軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 30 mm、長さ 1.5 m、区間 BC は直径 20 mm、長さ 1.5 m である。自由端 C にトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 250 N·md1 = 30 mm, L1 = 1.5 md2 = 20 mm, L2 = 1.5 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 15 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 6 kN/m（0 から 8 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
10 kN @ 0 m35 kN @ 6 m35 kN @ 4 m6 kN/m, 1–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 130 mm、厚さ 10 mm、全高は 320 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。
B = 130 mmH = 320 mmtf = 10 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 200 mmM = 40 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −80 MPaσy = 120 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 110 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 27 kNa = 3 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 120 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 120 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 20.03 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3.617 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/9.983 × 10⁻⁶ = 20033 N = 20.03 kN
答え
P = 20.03 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 9.409 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 88.35 MPa
σ2 = 751.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 88.35·1500/70000 = 1.893 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 751.6·1000/100000 = 7.516 mm
δ = δ1 + δ2 = 9.409 mm
答え
δ = 9.409 mm
3.軸のねじり
答え: τmax = 159.2 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 250 N·m = 250000 N·mm
τAB = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa
τBC = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
答え
τmax = 159.2 MPa
4.軸のねじり
答え: d = 33.16 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·40)) = 33.16 mm
答え
d = 33.16 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 47.25 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
x = 4.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24·4.5 − 6·4.5·2.25 = 47.25 kN·m
答え
Mx = 47.25 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: F (x = 5 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 24.5 kN, R2 = 79.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −10, MC = 1.5, MD = 7, ME = 6.5, MF = −35 kN·m, MG = 0
答え
点 F: MF = −35 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Sx = 503 × 10³ mm³
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 320 − 2·10 = 300 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (130·320³ − 122·300³)/12
Ix = 8.049 × 10⁷ mm⁴
断面係数
c = H/2 = 160 mm
Sx = I/c = 8.049 × 10⁷/160
Sx = 503042 mm³ = 503 × 10³ mm³
答え
Sx = 503 × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 98.24 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
ウェブ: Aw = 14·200 = 2800 mm², yw = 200/2 = 100 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·215 + 2800·100)/5800 = 159.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 100·30³/12 + 3000·(215 − 159.5)² = 9.471 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 14·200³/12 + 2800·(100 − 159.5)² = 1.924 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.471 × 10⁶ + 1.924 × 10⁷ = 2.871 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 230 − 159.5 = 70.52 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·70.52/2.871 × 10⁷ = 98.24 MPa
答え
σ上端 = 98.24 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 100.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−80 − 120)/2)² + −10²) = 100.5 MPa
答え
τmax = 100.5 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 2.01 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −15·0.866 + 30·0.5 = 2.01 MPa
答え
τθ = 2.01 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 25.71 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 27000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 27000·3000²·2000²/(3·2.52 × 10¹²·5000) = 25.71 mm
答え
δP = 25.71 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 192.2 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·20) = 7.398 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·7.398 × 10⁷/125)1/3 = 192.2 mm
答え
hreq = 192.2 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 8.883 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·5000 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/5000² = 8883 N = 8.883 kN
答え
Pcr = 8.883 kN
14.柱の座屈
答え: d = 59.32 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·120000 = 300000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 59.32 mm
答え
d = 59.32 mm
確認：細長比 KL/r は 134.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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