材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mm鋼2 mP = 50 kN

鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 50 kNd = 30 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 35 mm鋼1 mØ 16 mmアルミニウム1.5 mP = 30 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 30 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 750 N·md = 25 mmL = 0.5 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1500 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 4 kN/mAB断面2 m8 m

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 4 kN/m（0 から 10 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 24 kN/mAB2 m3 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mw = 24 kN/m（2 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
300202608x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm240 mm156 mm80 × 40xIx​ = ?

120 mm × 240 mm の板に、幅 80 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 156 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 240 mm切り欠き: 80 × 40 mm穴の中心: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 80σy​ = −20τxy​ = −50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 80 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 40 mm の中実軸が軸引張力 130 kNとトルク 2000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 40 mmF = 130 kNT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 30 kNABδ3 m1 m

単純ばりの支点 A から a = 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 30 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 65 kNAB3 m3 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 6 mP = 65 kN 位置 3 m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 5 m25 × 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 90 kNL = 1 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 90 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 90 kNn = 2L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 353.7 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 50·1000/706.9 = 70.74 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 70.74/200000 = 0.0003537 = 353.7 µε

答え

ε = 353.7 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 149.2 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 31.18 MPa
σ2 = 149.2 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 149.2 MPa

答え

σmax = 149.2 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 21.55 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·38350) = 0.3761 rad
φ = 0.3761·180/π = 21.55°

答え

φ = 21.55°
4.軸のねじり

答え: d = 14.8 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·50)) = 14.8 mm

答え

d = 14.8 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 32 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20断面2 m8 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 20·2 − 4·2·1 = 32 kN·m

答え

Mx = 32 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 52.92 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 24·3·3.5
RB = 252/5 = 50.4 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 50.4 = 21.6 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 21.6/24 = 2.9 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 21.6·2.9 − 24·0.9²/2 = 52.92 kN·m

答え

Mmax = 52.92 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 42.19 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
ウェブ: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·270 + 2080·130)/8080 = 234 mm

平行軸の定理

フランジ: 300·20³/12 + 6000·(270 − 234)² = 7.993 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·260³/12 + 2080·(130 − 234)² = 3.42 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.993 × 10⁶ + 3.42 × 10⁷ = 4.219 × 10⁷ mm⁴ = 42.19 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 42.19 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 133.1 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (28800·120 − 3200·156)/(28800 − 3200) = 115.5 mm

ȳ まわりの全体の板

120·240³/12 + 28800·4.5² = 138.8 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

80·40³/12 + 3200·40.5² = 5.675 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 133.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 133.1 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 70.71 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((80 − −20)/2)² + −50²) = 70.71 MPa

答え

τmax = 70.71 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 219.1 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 130000/(π·40²/4) = 130000/1257 = 103.5 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159.2 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 51.73 MPa
R = √(51.73² + 159.2²) = 167.3 MPa
σ1 = C + R = 219.1 MPa
σ2 = C − R = −115.6 MPa

答え

σ1 = 219.1 MPa
11.はりのたわみ

答え: δP = 13.24 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 30000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 30000·3000²·1000²/(3·1.7 × 10¹²·4000) = 13.24 mm

答え

δP = 13.24 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 20.31 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·65/16 = 20.31 kN

答え

RB = 20.31 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 8.225 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·5000 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/5000² = 8225 N = 8.225 kN

答え

Pcr = 8.225 kN
14.柱の座屈

答え: d = 67.88 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 67.88 mm

答え

d = 67.88 mm

確認：細長比 KL/r は 117.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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