軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 110 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 20 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.8 m、B から 1.5 m の C にトルク 250 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。
d = 50 mmT0 = 250 N·ma = 0.8 mb = 1.5 mG = 39 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 7.5 mP1 = 45 kN 位置 1.5 mP2 = 55 kN 位置 7.5 m支点の位置 x = 0 と x = 6 m
MB = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
50 kN @ 0 m30 kN @ 6 m20 kN @ 3 m4 kN/m, 1–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 280 mm の底板と、全高 150 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 18 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
b = 280 mmh = 150 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。
bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 200 mmM = 30 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 80 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 120 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2.5 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.07424 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·500/5.388 × 10⁸ = 0.07424 mm
答え
δ = 0.07424 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 7.104 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 224.1 MPa
σ2 = 972.6 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 224.1·1000/100000 = 2.241 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 972.6·500/100000 = 4.863 mm
δ = δ1 + δ2 = 7.104 mm
答え
δ = 7.104 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 17.54 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·15708) = 0.3061 rad
φ = 0.3061·180/π = 17.54°
答え
φ = 17.54°
4.軸のねじり
答え: φC = 0.3123 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1.5/2.3 = 163 N·m
TB = 250·0.8/2.3 = 86.96 N·m
C の回転角
区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 163043·800/(39000·613592) = 0.005451 rad = 0.3123°
答え
φC = 0.3123°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MB = −82.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1.5 + 55·7.5
RB = 480/6 = 80 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 80 = 20 kN
B で切断し、張出し部を残す
張出し部には P2 だけが腕の長さ a で作用します。これにより、はりは支点上で上に凸に曲がります（負の曲げ）。
MB = −P2·a = −55·1.5 = −82.5 kN·m
答え
MB = −82.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: B (x = 1 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 73 kN, R2 = 43 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −29, MD = −12, ME = −19, MF = −30, MG = 0
答え
点 B: MB = −50 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 20.79 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 280·18 = 5040 mm², y1 = 9 mm
2 本の脚: A2 = 2·18·132 = 4752 mm², y2 = 18 + 132/2 = 84 mm
図心
ȳ = (5040·9 + 4752·84)/9792 = 45.4 mm
平行軸の定理
基剤: 280·18³/12 + 5040·(9 − 45.4)² = 6.813 × 10⁶ mm⁴
2 本の脚: 2·18·132³/12 + 4752·(84 − 45.4)² = 1.398 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.813 × 10⁶ + 1.398 × 10⁷
Ix = 2.079 × 10⁷ mm⁴ = 20.79 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 20.79 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ下端 = 285.5 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 200 + 15/2 = 207.5 mm
ウェブ: Aw = 8·200 = 1600 mm², yw = 200/2 = 100 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·207.5 + 1600·100)/5500 = 176.2 mm
平行軸の定理
フランジ: 260·15³/12 + 3900·(207.5 − 176.2)² = 3.887 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·200³/12 + 1600·(100 − 176.2)² = 1.463 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.887 × 10⁶ + 1.463 × 10⁷ = 1.852 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
下端は軸から ȳ の位置にあります。
y = 176.2 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·176.2/1.852 × 10⁷ = 285.5 MPa
答え
σ下端 = 285.5 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −23.86 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 50/74.33 = 0.6727, sin 2θs = −55/74.33 = −0.7399
2θs = atan2(−55, 50) = −47.73°
要素上の角度
θs = −23.86°
確認: θs − θp = −23.86 − 21.14 = −45°
答え
θs = −23.86°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 77.62 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −85·−0.6428 + 30·0.766 = 77.62 MPa
答え
τθ = 77.62 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.004464 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 10·3000³/(24·2.52 × 10¹²) = 0.004464 rad
答え
θA = 0.004464 rad
これは 0.2558° です。
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 25.31 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·6000⁴/(384·200000·16.67) = 2.531 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 25.31 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 25.31 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 8.721 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN
答え
Pcr = 8.721 kN
14.柱の座屈
答え: d = 37.9 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 37.9 mm
答え
d = 37.9 mm
確認：細長比 KL/r は 211.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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