材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 16 mm鋼3 mP = 110 kN

軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 110 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mm銅1 mØ 12 mmアルミニウム1.5 mP = 90 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 90 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 200 N·md = 40 mmL = 1.5 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 300 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 3 kN/mP = 60 kNAB断面0.5 m1.5 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2 mP = 60 kN 位置 2 mw = 3 kN/m（0 から 2 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mABC6 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mw = 3 kN/m（0 から 8 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
MB = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm200 mm80 mmØ30xIx​ = ?

200 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 80 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
140360186xM = 40 kN·m寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 140 mm、厚さ 18 mm、全高は 360 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 40 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。

B = 140 mmH = 360 mmtf = 18 mmtw = 6 mmM = 40 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 90τxy​ = 30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = −60 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 20 mm の中実軸が軸引張力 40 kNとトルク 250 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 20 mmF = 40 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mABθ5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mAB4 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。

L = 4 mw = 6 kN/m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
PL = 2 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 2 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 8.206 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 547.1/200000 = 0.002735 = 2735 µε

伸び

δ = ε·L = 0.002735·3000 mm = 8.206 mm

答え

δ = 8.206 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 795.8 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 71.62 MPa
σ2 = 795.8 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 795.8 MPa

答え

σmax = 795.8 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 0.8549 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·251327) = 0.01492 rad
φ = 0.01492·180/π = 0.8549°

答え

φ = 0.8549°
4.軸のねじり

答え: d = 58.74 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·40)) = 58.74 mm

答え

d = 58.74 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −93.38 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −60·1.5 = −90 kN·m
w: −3·1.5²/2 = −3.375 kN·m
Mx = −90 − 3.375 = −93.38 kN·m

答え

Mx = −93.38 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: MB = −6 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·8·4
RB = 96/6 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 16 = 8 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。

MB = −w·a²/2 = −3·2²/2 = −6 kN·m

答え

MB = −6 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 133 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (40000·100 − 706.9·80)/(40000 − 706.9) = 100.4 mm

ȳ まわりの全体の板

200·200³/12 + 40000·−0.3598² = 133.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−20.36² = 0.3328 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 133 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 133 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σj = 39.39 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 360 − 2·18 = 324 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·360³ − 134·324³)/12
Ix = 1.645 × 10⁸ mm⁴

曲げ応力

y = 180 − 18 = 162 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·162/1.645 × 10⁸ = 39.39 MPa

答え

σj = 39.39 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = 79.1 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·30, −60 − 90) = 158.2°

要素上の角度

θp = 79.1°

答え

θp = 79.1°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 171.4 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 40000/(π·20²/4) = 40000/314.2 = 127.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
στxyCτmax​

モールの応力円

C = σ/2 = 63.66 MPa
R = √(63.66² + 159.2²) = 171.4 MPa

答え

τmax = 171.4 MPa
11.はりのたわみ

答え: θA = 0.006793 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 6·5000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.006793 rad

答え

θA = 0.006793 rad

これは 0.3892° です。

12.はりのたわみ

答え: MA = 12 kN·m

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·4/8 = 9 kN

固定端のモーメント

荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。

MA = wL²/2 − RB·L = 48 − 36 = 12 kN·m

答え

MA = 12 kN·m
13.柱の座屈

答え: Pcr = 992.2 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992.2 kN

答え

Pcr = 992.2 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 27.76 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa

答え

σcr = 27.76 MPa

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