軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 200 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 10 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 40 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 3 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 3 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 250 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 40 mmTB = 250 N·mTC = 250 N·mAB = 3 mBC = 3 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 45 kN 位置 5 mw = 6 kN/m（0 から 5 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 6 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 60 kN 位置 3 mw = 6 kN/m（0 から 8 m まで）x = 6 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 280 mm の底板と、全高 140 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 12 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
b = 280 mmh = 140 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 40 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 40 MPaσy = −80 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −60 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 18 kNw = 6 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 8 mw = 4 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 57.51 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706.9) = 2.358 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/4.347 × 10⁻⁶ = 57507 N = 57.51 kN
答え
P = 57.51 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 88.42 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 10.39 MPa
σ2 = 88.42 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 88.42 MPa
答え
σmax = 88.42 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 1.461 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(39000·251327) = 0.02551 rad
φ = 0.02551·180/π = 1.461°
答え
φ = 1.461°
4.軸のねじり
答え: φC = 19.73 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 250 = 500 N·m
各区間のねじれ角
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 500000·3000/(26000·251327) = 0.2296 rad
φBC = 250000·3000/(26000·251327) = 0.1148 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.2296 + 0.1148 = 0.3443 rad → |φC| = 19.73°
答え
φC = 19.73°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MA = −300 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −45·5 = −225 kN·m
w: −6·5²/2 = −75 kN·m
MA = −225 − 75 = −300 kN·m
答え
MA = −300 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 81 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·3 + 6·8·4
RB = 372/8 = 46.5 kN
ΣFy = 0: RA = 108 − 46.5 = 61.5 kN
x = 6 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 61.5·6 − 60·(6 − 3) − 6·6·3 = 81 kN·m
答え
Mx = 81 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 12.1 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 280·12 = 3360 mm², y1 = 6 mm
2 本の脚: A2 = 2·12·128 = 3072 mm², y2 = 12 + 128/2 = 76 mm
図心
ȳ = (3360·6 + 3072·76)/6432 = 39.43 mm
平行軸の定理
基剤: 280·12³/12 + 3360·(6 − 39.43)² = 3.796 × 10⁶ mm⁴
2 本の脚: 2·12·128³/12 + 3072·(76 − 39.43)² = 8.302 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.796 × 10⁶ + 8.302 × 10⁶
Ix = 1.21 × 10⁷ mm⁴ = 12.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 12.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 5.667 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 240·25 = 6000 mm², yf = 260 + 25/2 = 272.5 mm
ウェブ: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·272.5 + 2080·130)/8080 = 235.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 240·25³/12 + 6000·(272.5 − 235.8)² = 8.386 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·260³/12 + 2080·(130 − 235.8)² = 3.501 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.386 × 10⁶ + 3.501 × 10⁷ = 4.339 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 285 − 235.8 = 49.18 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·49.18/4.339 × 10⁷ = 5.667 MPa
答え
σ上端 = 5.667 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −31.72 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = 30/67.08 = 0.4472, sin 2θs = −60/67.08 = −0.8944
2θs = atan2(−60, 30) = −63.43°
要素上の角度
θs = −31.72°
確認: θs − θp = −31.72 − 13.28 = −45°
答え
θs = −31.72°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = 15 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −0·0.866 + 30·0.5 = 15 MPa
答え
τθ = 15 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 28.63 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 18000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 18000·1500³/(3·8.4 × 10¹¹) = 24.11 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·8.4 × 10¹¹) = 4.52 mm
足し合わせる
δ = 24.11 + 4.52 = 28.63 mm
答え
δ = 28.63 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 12 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN
答え
RB = 12 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 142.1 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1250² = 142122 N = 142.1 kN
答え
Pcr = 142.1 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 17.48 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/6.25 = 336
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17.48 MPa
答え
σcr = 17.48 MPa
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