軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 200 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 30 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 30 kWN = 750 rpmdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
20 kN @ 2 m30 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
15 kN @ 12 m35 kN @ 4 m6 kN/m, 0–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 160 mm、厚さ 16 mm、全高は 200 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 160 mmH = 200 mmtf = 16 mmtw = 12 mmM = 50 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −60 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 60 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = −60 MPaσy = 40 MPaτxy = 60 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が軸引張力 100 kNとトルク 250 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 面内最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 25 mmF = 100 kNT = 250 N·m
τmax = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 20 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 60 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 60 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 44.29 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2.526 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/4.516 × 10⁻⁶ = 44290 N = 44.29 kN
答え
P = 44.29 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 13.26 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 100000·2827/200 = 1.414 × 10⁶ N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·1.414 × 10⁶/1.885 × 10⁶ = 37500 N
応力
σ2 = 37500/2827 = 13.26 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 13.26 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 5.542 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·79522) = 0.09673 rad
φ = 0.09673·180/π = 5.542°
答え
φ = 5.542°
4.軸のねじり
答え: do = 32.44 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m
許容応力からの外径
T = 382 N·m = 381972 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·75·0.7599)) = 32.44 mm
di = 0.7·32.44 = 22.71 mm
答え
do = 32.44 mm
中実軸なら d = 29.6 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: C (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 38.33 kN, R2 = 11.67 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 38.33, MC = 46.67 kN·m, MD = 35, ME = 23.33, MF = 11.67, MG = 0
答え
点 C: MC = 46.67 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: C (x = 4 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 48 kN, R2 = 62 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 84, MC = 144 kN·m, MD = 110, ME = 52, MF = −30, MG = 0
答え
点 C: MC = 144 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 111.1 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
ウェブ: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·310 + 5400·150)/11000 = 231.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 280·20³/12 + 5600·(310 − 231.5)² = 3.474 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 18·300³/12 + 5400·(150 − 231.5)² = 7.633 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.474 × 10⁷ + 7.633 × 10⁷ = 1.111 × 10⁸ mm⁴ = 111.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 111.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 103.8 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 200 − 2·16 = 168 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·200³ − 148·168³)/12
Ix = 4.819 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
y = 100 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·100/4.819 × 10⁷ = 103.8 MPa
答え
σmax = 103.8 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 78.1 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −10 MPa, R = √((−50)² + 60²) = 78.1 MPa
σ1 = 68.1 MPa, σ2 = −88.1 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(156.2, 68.1, 88.1)/2 = 78.1 MPa
答え
τabs = 78.1 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 130.4 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 100000/(π·25²/4) = 100000/490.9 = 203.7 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 101.9 MPa
R = √(101.9² + 81.49²) = 130.4 MPa
答え
τmax = 130.4 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.01359 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 12·5000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.01359 rad
答え
θA = 0.01359 rad
これは 0.7785° です。
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 1841 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·6000⁴/(384·11000·16.67) = 1.841 × 10⁹ mm⁴
Ireq = 1841 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 1841 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 11.07 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11.07 kN
答え
Pcr = 11.07 kN
14.柱の座屈
答え: d = 52.21 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 52.21 mm
答え
d = 52.21 mm
確認：細長比 KL/r は 153.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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