軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 105 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 70 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1000 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B のすぐ左側でのせん断力 Vx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5.5 mP1 = 65 kN 位置 1 mP2 = 30 kN 位置 5.5 m支点の位置 x = 0 と x = 4 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 45 kN 位置 2.5 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 120 mm、厚さ 16 mm、全高は 460 mm、ウェブの厚さは 10 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
B = 120 mmH = 460 mmtf = 16 mmtw = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 150 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 105 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −10 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 60 MPaσy = −70 MPaτxy = −10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −40 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 40 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = −40 MPaσy = 110 MPaτxy = 40 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 9 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 21 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 70 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 1828 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/490.9 = 213.9 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 213.9/117000 = 0.001828 = 1828 µε
答え
ε = 1828 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 222.8 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 55.7 MPa
σ2 = 222.8 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 222.8 MPa
答え
σmax = 222.8 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 5.542 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·79522) = 0.09673 rad
φ = 0.09673·180/π = 5.542°
答え
φ = 5.542°
4.軸のねじり
答え: d = 22.99 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·40)) = 22.99 mm
答え
d = 22.99 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −27.5 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·4 = 65·1 + 30·5.5
RB = 230/4 = 57.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 57.5 = 37.5 kN
B のすぐ左で切断し、左側を残す
Vx = RA − P1 = 37.5 − 65 = −27.5 kN
答え
Vx = −27.5 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 15.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2.5 + 4·5·2.5
RB = 162.5/5 = 32.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32.5 = 32.5 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 32.5·0.5 − 4·0.5·0.25 = 15.75 kN·m
答え
Mx = 15.75 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 254.7 × 10⁶ mm⁴
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 460 − 2·16 = 428 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·460³ − 110·428³)/12
Ix = 2.547 × 10⁸ mm⁴ = 254.7 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 254.7 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 31.96 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (18000·75 − 1600·105)/(18000 − 1600) = 72.07 mm
ȳ まわりの全体の板
120·150³/12 + 18000·2.927² = 33.9 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·40³/12 + 1600·32.93² = 1.948 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 31.96 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 31.96 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 65.76 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = −5 MPa, R = √(65² + (−10)²) = 65.76 MPa
σ1 = 60.76 MPa, σ2 = −70.76 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(131.5, 60.76, 70.76)/2 = 65.76 MPa
答え
τabs = 65.76 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 151.3 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 35 MPa, R = 85 MPa
σ1 = 120 MPa, σ2 = −50 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(120² − 120·(−50) + (−50)²) = 151.3 MPa
答え
σvM = 151.3 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 21.19 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 9000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 9000·1500³/(3·6.27 × 10¹¹) = 16.15 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·6.27 × 10¹¹) = 5.046 mm
足し合わせる
δ = 16.15 + 5.046 = 21.19 mm
答え
δ = 21.19 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 2.699 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 21000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 21000·2000³/(48·1.76 × 10¹²) = 1.989 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 0.7102 mm
足し合わせる
δmax = 1.989 + 0.7102 = 2.699 mm
答え
δmax = 2.699 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 12.02 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1050² = 12016 N = 12.02 kN
答え
Pcr = 12.02 kN
14.柱の座屈
答え: d = 78.07 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·70000 = 140000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 78.07 mm
答え
d = 78.07 mm
確認：細長比 KL/r は 153.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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