材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
150 kNØ30100 GPaØ120/50500 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 150 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 150 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø40120 GPaØ100/60600 mm

鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 500 N·md = 40 mmL = 0.8 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 500 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 5 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 12 kN/mAB断面1.5 m8.5 m

支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 12 kN/m（0 から 10 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
35 kN25 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 0 m25 kN @ 6 m60 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
180240188x寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 180 mm、厚さ 18 mm、全高は 240 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。

B = 180 mmH = 240 mmtf = 18 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm300 mm195 mm40 × 20xIx​ = ?

200 mm × 300 mm の板に、幅 40 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 195 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 300 mm切り欠き: 40 × 20 mm穴の中心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 40σy​ = 120τxy​ = 60MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −70σy​ = −20τxy​ = −50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = −70 MPaσy = −20 MPaτxy = −50 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mABθ5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mδL = 4 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 60 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 60 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 60 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.0697 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·9346 = 1.076 × 10⁹ N

縮み

δ = 150000·500/1.076 × 10⁹ = 0.0697 mm

答え

δ = 0.0697 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 356 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8.545 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.00125, 0.0004167) = 0.0004167 (銅)

最大荷重

Pmax = 0.0004167·8.545 × 10⁸ = 356047 N = 356 kN

答え

Pmax = 356 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 3.507 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·251327) = 0.06121 rad
φ = 0.06121·180/π = 3.507°

答え

φ = 3.507°
4.軸のねじり

答え: d = 18.25 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18.25 mm

答え

d = 18.25 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 76.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
w = 12 kN/mABRA​ = 60RB​ = 60断面1.5 m8.5 m

x = 1.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 60·1.5 − 12·1.5·0.75 = 76.5 kN·m

答え

Mx = 76.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 1 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 52.5 kN, R2 = 67.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −35 kN·m, MC = −17.5, MD = 0, ME = 17.5, MF = −25, MG = 0

答え

点 B: MB = −35 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Sx = 714 × 10³ mm³

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 240 − 2·18 = 204 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·240³ − 172·204³)/12
Ix = 8.567 × 10⁷ mm⁴

断面係数

c = H/2 = 120 mm
Sx = I/c = 8.567 × 10⁷/120
Sx = 713957 mm³ = 714 × 10³ mm³

答え

Sx = 714 × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 448.3 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (60000·150 − 800·195)/(60000 − 800) = 149.4 mm

ȳ まわりの全体の板

200·300³/12 + 60000·0.6081² = 450 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·20³/12 + 800·45.61² = 1.691 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 448.3 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 448.3 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 72.11 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((40 − 120)/2)² + 60²) = 72.11 MPa

答え

τmax = 72.11 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = −98.58 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = −45 + −25·0.1736 + −50·0.9848 = −98.58 MPa

答え

σθ = −98.58 MPa
11.はりのたわみ

答え: θA = 0.006527 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·3.99 × 10¹²) = 0.006527 rad

答え

θA = 0.006527 rad

これは 0.374° です。

12.はりのたわみ

答え: Ireq = 22.5 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·4000⁴/(384·200000·11.11) = 2.25 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 22.5 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 22.5 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 197.7 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197.7 kN

答え

Pcr = 197.7 kN
14.柱の座屈

答え: d = 58.37 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·60000 = 180000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 58.37 mm

答え

d = 58.37 mm

確認：細長比 KL/r は 171.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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