材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 16 mm銅1.5 mP = 15 kN

銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 15 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø40120 GPaØ100/60300 mm

鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa、許容応力 80 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 50 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
do​ = ?50 kW, 1450 rpm

中空軸が 1450 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

P = 50 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.5τallow = 50 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 8 kN/mAB断面5 m1 m

支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 8 kN/m（0 から 6 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 55 kNAB断面3 m1 m

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 55 kN 位置 3 mw = 5 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm300 mm180 mmØ50xIx​ = ?

200 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 180 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2201526020xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 140σy​ = 40τxy​ = −50MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 140 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = −50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = 140 MPaσy = 40 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 10σy​ = 40τxy​ = 50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 40° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 10 MPaσy = 40 MPaτxy = 50 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 21 kNABδ0.5 m2.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 21 kNa = 0.5 mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 10 kN/mδL = 3 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 3 m25 × 100 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 30 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 637.6 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 74.6/117000 = 0.0006376 = 637.6 µε

答え

ε = 637.6 µε
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 512.7 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8.545 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.0006667) = 0.0006 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.0006·8.545 × 10⁸ = 512708 N = 512.7 kN

答え

Pmax = 512.7 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 0.4789 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(39000·613592) = 0.008358 rad
φ = 0.008358·180/π = 0.4789°

答え

φ = 0.4789°
4.軸のねじり

答え: do = 32.95 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

許容応力からの外径

T = 329.3 N·m = 329286 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·329286/(π·50·0.9375)) = 32.95 mm
di = 0.5·32.95 = 16.48 mm

答え

do = 32.95 mm

中実軸なら d = 32.25 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 20 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24断面5 m1 m

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24·5 − 8·5·2.5 = 20 kN·m

答え

Mx = 20 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 48.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·3 + 5·4·2
RB = 205/4 = 51.25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 51.25 = 23.75 kN
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​ = 23.75RB​ = 51.25断面3 m1 m

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 23.75·3 − 5·3·1.5 = 48.75 kN·m

答え

Mx = 48.75 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (60000·150 − 1963·180)/(60000 − 1963) = 149 mm

ȳ まわりの全体の板

200·300³/12 + 60000·1.015² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·31.01² = 2.196 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 447.9 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 6.784 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 260 + 15/2 = 267.5 mm
ウェブ: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·267.5 + 5200·130)/8500 = 183.4 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·15³/12 + 3300·(267.5 − 183.4)² = 2.341 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 20·260³/12 + 5200·(130 − 183.4)² = 4.411 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.341 × 10⁷ + 4.411 × 10⁷ = 6.752 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 275 − 183.4 = 91.62 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·91.62/6.752 × 10⁷ = 6.784 MPa

答え

σ上端 = 6.784 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 80.36 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = 90 MPa, R = √(50² + (−50)²) = 70.71 MPa
σ1 = 160.7 MPa, σ2 = 19.29 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(141.4, 160.7, 19.29)/2 = 80.36 MPa

答え

τabs = 80.36 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 71.64 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 25 + −15·0.1736 + 50·0.9848 = 71.64 MPa

答え

σθ = 71.64 MPa
11.はりのたわみ

答え: δB = 2.951 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 21000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 0.3472 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001042 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.951 mm

答え

δB = 2.951 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·3000⁴/(384·200000·8.333) = 6.328 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 6.328 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 7.139 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·3000 = 6000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/6000² = 7139 N = 7.139 kN

答え

Pcr = 7.139 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 6.218 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7.5 = 333.3

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa

答え

σcr = 6.218 MPa

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