軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 250 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 250 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 10 kN区間 1：Ø30 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中空軸（外径 75 mm、内径 56 mm、長さ 2.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 750 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·mdo = 75 mmdi = 56 mmL = 2.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm の黄銅製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.5 m、B から 3 m の C にトルク 1000 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。
d = 60 mmT0 = 1000 N·ma = 1.5 mb = 3 mG = 39 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 15 kN 位置 1.5 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 220 mm の底板と、全高 130 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 12 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。
b = 220 mmh = 130 mmt = 12 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 190 mm、厚さ 24 mm、全高は 320 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 80 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 190 mmH = 320 mmtf = 24 mmtw = 6 mmM = 80 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −10 MPaσy = −10 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPaσY = 460 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 3.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 14 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。
P = 7 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 50 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 50 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.2399 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·3063 = 3.126 × 10⁸ N
縮み
δ = 250000·300/3.126 × 10⁸ = 0.2399 mm
答え
δ = 0.2399 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 88.42 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 14.15 MPa
σ2 = 88.42 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 88.42 MPa
答え
σmax = 88.42 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 0.6273 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·2500/(80000·2.141 × 10⁶) = 0.01095 rad
φ = 0.01095·180/π = 0.6273°
答え
φ = 0.6273°
4.軸のねじり
答え: φC = 1.155 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·3/4.5 = 666.7 N·m
TB = 1000·1.5/4.5 = 333.3 N·m
C の回転角
区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。
J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 666667·1500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.02015 rad = 1.155°
答え
φC = 1.155°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 4 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·4·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
x = 2 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 4·2 − 2·2·1 = 4 kN·m
答え
Mx = 4 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 12.38 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1.5 + 2·4·2
RB = 38.5/4 = 9.625 kN
ΣFy = 0: RA = 23 − 9.625 = 13.38 kN
x = 1 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 13.38·1 − 2·1·0.5 = 12.38 kN·m
答え
Mx = 12.38 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: ȳ = 39.64 mm
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 220·12 = 2640 mm², y1 = 6 mm
2 本の脚: A2 = 2·12·118 = 2832 mm², y2 = 12 + 118/2 = 71 mm
図心
ȳ = (2640·6 + 2832·71)/5472 = 39.64 mm
答え
ȳ = 39.64 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 60.88 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 320 − 2·24 = 272 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·320³ − 184·272³)/12
Ix = 2.103 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 160 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·160/2.103 × 10⁸ = 60.88 MPa
答え
σmax = 60.88 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 45 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·20, −10 − −10) = 90°
要素上の角度
θp = 45°
答え
θp = 45°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 4.366
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 90 MPa, R = 31.62 MPa
σ1 = 121.6 MPa, σ2 = 58.38 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(121.6² − 121.6·58.38 + 58.38²) = 105.4 MPa
n = 460/105.4 = 4.366
答え
n = 4.366
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δP = 1.861 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 14000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 14000·3500²·2500²/(3·3.2 × 10¹³·6000) = 1.861 mm
答え
δP = 1.861 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 7.764 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 7000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
最大たわみの位置
長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm
最大たわみ
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 7.764 mm
答え
δmax = 7.764 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 2.12 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2500 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2500² = 2120 N = 2.12 kN
答え
Pcr = 2.12 kN
14.柱の座屈
答え: d = 58.6 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·50000 = 100000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 58.6 mm
答え
d = 58.6 mm
確認：細長比 KL/r は 136.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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