軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 100 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 50 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 250 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 20 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 20 kWN = 1000 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mw = 6 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 7.5 mw = 10 kN/m（0 から 7.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 10 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 300 mmM = 10 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 70 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 24 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 23 kNw = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 17.68 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 100·1000/113.1 = 884.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 884.2/100000 = 0.008842 = 8842 µε
伸び
δ = ε·L = 0.008842·2000 mm = 17.68 mm
答え
δ = 17.68 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 248.7 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 39.79 MPa
σ2 = 248.7 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 248.7 MPa
答え
σmax = 248.7 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 5.542 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·79522) = 0.09673 rad
φ = 0.09673·180/π = 5.542°
答え
φ = 5.542°
4.軸のねじり
答え: τmax = 3.345 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 190986·37.5/2.141 × 10⁶ = 3.345 MPa
答え
τmax = 3.345 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 6.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2.5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15·0.5 − 6·0.5·0.25 = 6.75 kN·m
答え
Mx = 6.75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 17.58 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·7.5 = 75 kN、作用点 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·7.5·3.75
RB = 281.3/5 = 56.25 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 56.25 = 18.75 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 18.75/10 = 1.875 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 18.75²/(2·10) = 17.58 kN·m
答え
Mmax = 17.58 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 43.1 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
ウェブ: Aw = 10·300 = 3000 mm², yw = 300/2 = 150 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·305 + 3000·150)/4200 = 194.3 mm
平行軸の定理
フランジ: 120·10³/12 + 1200·(305 − 194.3)² = 1.472 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·300³/12 + 3000·(150 − 194.3)² = 2.838 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.472 × 10⁷ + 2.838 × 10⁷ = 4.31 × 10⁷ mm⁴ = 43.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 43.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 19.75 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
ウェブ: Aw = 14·300 = 4200 mm², yw = 300/2 = 150 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·305 + 4200·150)/5800 = 192.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·10³/12 + 1600·(305 − 192.8)² = 2.017 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 14·300³/12 + 4200·(150 − 192.8)² = 3.918 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.017 × 10⁷ + 3.918 × 10⁷ = 5.935 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 310 − 192.8 = 117.2 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·117.2/5.935 × 10⁷ = 19.75 MPa
答え
σ上端 = 19.75 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 39.05 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((10 − 60)/2)² + 30²) = 39.05 MPa
答え
τmax = 39.05 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 82.26 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 40 + 30·0.766 + 30·0.6428 = 82.26 MPa
答え
σθ = 82.26 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 77.34 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 24000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2500²·3500²/(3·1.32 × 10¹²·6000) = 77.34 mm
答え
δP = 77.34 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 43.01 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 23000 N, w = 12 N/mm, L = 3000 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 23000·3000³/(48·5.95 × 10¹¹) = 21.74 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 21.27 mm
足し合わせる
δmax = 21.74 + 21.27 = 43.01 mm
答え
δmax = 43.01 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 3.876 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3.876 kN
答え
Pcr = 3.876 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 14.16 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7.5 = 373.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373.3² = 14.16 MPa
答え
σcr = 14.16 MPa
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