軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 65 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 65 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.5 m、B から 1.2 m の C にトルク 400 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmT0 = 400 N·ma = 0.5 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに、A から x = 3 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 40 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ右側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mM0 = 40 kN·m 時計回り、位置 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。
L = 7.5 mw = 6 kN/m（0 から 7.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
xc = m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 70 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm穴の中心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 210 mm、厚さ 22 mm、全高は 340 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 210 mmH = 340 mmtf = 22 mmtw = 6 mmM = 30 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 90 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 90 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 30 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 30 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPaσY = 350 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 12 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 7 kNw = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.956 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 206.9/70000 = 0.002956 = 2956 µε
伸び
δ = ε·L = 0.002956·1000 mm = 2.956 mm
答え
δ = 2.956 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 8.625 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 132.4 MPa
σ2 = 323.3 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 132.4·1500/117000 = 1.698 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 323.3·1500/70000 = 6.928 mm
δ = δ1 + δ2 = 8.625 mm
答え
δ = 8.625 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 11.21 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·38350) = 0.1956 rad
φ = 0.1956·180/π = 11.21°
答え
φ = 11.21°
4.軸のねじり
答え: τmax = 53.26 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1.2/1.7 = 282.4 N·m
TB = 400·0.5/1.7 = 117.6 N·m
最大せん断応力
2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。
τmax = 16·282353/(π·30³) = 53.26 MPa
答え
τmax = 53.26 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 10 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。
支点反力
A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 40/4 = 10 kN (上向き)
RA = −RB = −10 kN (下向き)
偶力のすぐ右で切断
左側部分には RA と偶力が含まれます。
Mx = RA·a + M0 = −10·3 + 40 = 10 kN·m
答え
Mx = 10 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: xc = 3.75 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·7.5 = 45 kN、作用点 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·7.5·3.75
RB = 168.8/5 = 33.75 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 33.75 = 11.25 kN
モーメント 0 の位置
支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·11.25/6 = 3.75 m
答え
xc = 3.75 m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (20000·100 − 2827·70)/(20000 − 2827) = 104.9 mm
ȳ まわりの全体の板
100·200³/12 + 20000·−4.939² = 67.15 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·60⁴/64 + 2827·−34.94² = 4.088 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 63.07 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 20.65 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 340 − 2·22 = 296 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·340³ − 204·296³)/12
Ix = 2.469 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 170 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·170/2.469 × 10⁸ = 20.65 MPa
答え
σmax = 20.65 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 26.57 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·60, 90 − 0) = 53.13°
要素上の角度
θp = 26.57°
答え
θp = 26.57°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 4.471
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 50 MPa, R = 28.28 MPa
σ1 = 78.28 MPa, σ2 = 21.72 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 78.28 MPa
n = 350/78.28 = 4.471
答え
n = 4.471
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.02286 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 12·8000³/(24·1.12 × 10¹³) = 0.02286 rad
答え
θA = 0.02286 rad
これは 1.31° です。
12.はりのたわみ
答え: δmax = 2.101 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 7000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 7000·2500³/(48·3.99 × 10¹²) = 0.5711 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.53 mm
足し合わせる
δmax = 0.5711 + 1.53 = 2.101 mm
答え
δmax = 2.101 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 4.498 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/4000² = 4498 N = 4.498 kN
答え
Pcr = 4.498 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 12.34 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/10 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa
答え
σcr = 12.34 MPa
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